强联通分量之kosaraju算法

Posted 2020-10-05 PECHPO

　　首先定义：强联通分量是有向图G=(V, E)的最大结点集合，满足该集合中的任意一对结点v和u，路径vu和uv同时存在。

　　kosaraju算法用来寻找强联通分量。对于图G，它首先随便找个结点dfs，求出每个节点最后一次访问的时间戳f（x），然后我们建立反图G^t，接着根据倒序的时间戳来dfs每个节点，每次dfs到的结点集合就是一个强联通分量。事实上这个算法的思想和拓扑排序类似。

　　我们来证明它（注意这里面的图指原图，而不是反图）：

引理：对于G中的两个强联通分量C和C’，若点u属于C，点v属于C‘，且存在边（u，v），那么f（C）>f（C‘）。

　　证明应该很好想。。如果先访问C，那么一定会先访问完C‘再访问C。如果先访问C’，因为强联通分量的性质，C一定不在C’的深度优先搜索树中。

推论：对于G中的两个强联通分量C和C’，若点u属于C，点v属于C‘，如果f（C）>f（C‘），那么不可能存在边（v，u）

　　因为若有边（v，u），访问C‘一定会访问到C，然后C先退出。如果先访问C，那么f（C）依旧小于f（C’）

证明：若根据倒序的时间戳dfs结点，那么最后一个结点一定属于最后一个结束访问的强联通分量C‘（因为C’被访问到的次序就是由最后一个结点的时间戳决定的），也就是f（C‘）>f（任意一个C）。根据推论，在原图中不可能存在边，从其它强联通分量连向它。也就是对于反图来说，从当前结点dfs只会dfs到最后一个结束访问的强连通分量。接着，倒序找到第二个没有被访问过的点，它属于倒数第二个结束访问的强联通分量，并且按原图来看，只可能有前面访问过的强联通分量向它连边，所以它只能访问自己所属的强联通分量。以此类推，可以证明算法的正确性。

　　这个证明的重点在于：目前倒序来看，最先没有访问过的点属于新的待处理强联通分量。