noi.ac #45 计数

Posted 2021-01-09 shandongs1

(des)
给定 (n) 的全排列 + 一个值域属于 ([1, n]) 的元素构成长度为 (n + 1) 的序列
问长度为 (i) 的本质不同的子序列的个数

(sol)
小学计数题
记 (p + 1, q - 1) 的元素相同
从起点到第一个相同元素长度 (p)
从终点到第二个相同元素长度 (q)
对于长度为 (i) 的本质不同的子序列的个数
可以用全部的答案 - 出现重复的个数
显然全部的答案 (n + 1 choose i)
对于重复的答案，只存在于重复的元素存在于挑选的元素中的时候
这样的话，挑选的元素只剩下 (i - 1) 个
枚举在 ([1, p]) 中挑选 (x) 个，在 ([q, n + 1]) 中挑选 (i - 1 - x) 个统计答案
。。。
这样枚举的就非常zz啊
重复的方案数显然就是 $ q + p choose i - 1$

时间复杂度 (O(nlogn))

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, Mod = 1e9 + 7;

#define gc getchar()

inline int read() {int x = 0; char c = gc;while(c < '0' || c > '9') c = gc;
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = gc; return x;}

#define LL long long
#define Rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)

LL fac[N] = {1};
bool vis[N];
LL n, a[N];
LL q, p;

LL Ksm(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {if(b & 1) ret = ret * a % Mod; a = a * a % Mod; b >>= 1;}
    return ret;
}

LL C(LL n_, LL m) {
    if(n_ < m || m == 0) return 0;
    return (fac[n_] * Ksm(((fac[m] * fac[n_ - m]) % Mod), Mod - 2)) % Mod;
}

int main() {
    n = read();
    Rep(i, 1, n + 1) fac[i] = (fac[i - 1] * i) % Mod;
    Rep(i, 1, n + 1) {
        a[i] = read();
        if(vis[a[i]]) {
            p = n + 1 - i;
            Rep(j, 1, i) if(a[j] == a[i]) {q = j - 1; break;}
            break;
        }
        vis[a[i]] = 1;
    }
    Rep(i, 1, n + 1) {
        LL a = C(n + 1, i), b = C(q + p, i - 1);
        LL Answer;
        if(i == 1) Answer = a - b - 1;
        else Answer = a - b;
        if(Answer < 0) Answer += Mod;
        cout << Answer << "
"; 
    }
    return 0;
}