LOOPS HDU - 3853 （概率dp）：（希望通过该文章梳理自己的式子推导）

Posted 2021-01-09 alingmaomao

题意：就是让你从（1，1）走到（r, c）而且每走一格要花2的能量，有三种走法：1，停住。2，向下走一格。3，向右走一格。问在一个网格中所花的期望值。

 

首先：先把推导动态规划的基本步骤给出来。

·　　1.设变量：（注意：设置变量时，要能够使整个求解过程可以分为多个阶段。）

　　 2.分析阶段决策，并写出决策函数。（也就是能体现前阶段决策后阶段关系的函数）

　　 3.写出指标函数。（也是就是我们得出解的函数。）

 

先第一步：设置变量，我们分析这个题的是从（1,1）到(r, c)那么什么能体现“阶段”这个词的东西呢？

　　　　　十分明显，那就是步数（把停下也看做一步）啊；那么来具体分析一下。假设：我们走到（x，y）那么他的上一阶段是不是有三种可能，那么这三种上一阶，是不是由上上一阶的决策所决定的。是不是这样就把分层分阶段给划出来了。那么我们就设dp[i][j]  表示走到（x,y）时的期望值，最重要的是i，j的意义。

 

然后第二步：（分析决策函数）

设Sk便是第k阶段. 设决策为Pk

则S1={（1，1），（2，1），（1，2）；则，那么Pk就在S1中决策，我们这道题的决策P1=P0₁+P0₂+P0₃ <=>dp[1][1]=dp[1][1]+dp[2][1]+dp[1][2](我只是想更好的让大家理解这个决策)。好了，这个决策函数就写好了

最后第三步：（分析指标函数）

设Vk为指标函数。当然，一般有最值等等类型。我还是回到原题。假设走到（x, y）那么这前部的期望值是由决策函数来决策的。

回到决策函数：Pk=P(k-1)₁+P(k-1)₂+P(k-1)₃  (设h1，h2, h3分别是对应的概率) 那么Vk=(h1*P(k-1)₁+h2*P(k-1)₂+h3*P(k-1)₃+2)

好了，其实指标函数就是动态规划方程式了， dp[i][j]=(p[i][j][0]*dp[i][j]+p[i][j][1]*dp[i][j+1]+p[i][j][2]*dp[i+1][j]+2)  ===>

　　dp[i][j]=(p[i][j][1]*dp[i][j+1]+p[i][j][2]*dp[i+1][j]+2)/(1-p[i][j][0]);

ac代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn int(1e3+2)

double dp[maxn][maxn], p[maxn][maxn][3];

int main(){
    int r, c;
    while (scanf("%d%d", &r, &c) != EOF){
        for (int i = 1; i <= r;++i)
        for (int j = 1; j <= c;++j)
        for (int k = 0; k < 3; ++k)
            scanf("%lf", &p[i][j][k]);
        dp[r][c] = 0;
        for (int i = r; i>0; --i)
        for (int j = c; j > 0;--j)
        if (p[i][j][0] == 1||i==r&&j==c)continue;
        else {
            dp[i][j] = (p[i][j][1] * dp[i][j + 1] + p[i][j][2] * dp[i + 1][j] + 2) / (1 - p[i][j][0]);
        }
        printf("%.3lf
", dp[1][1]);
    }
}