LOOPS HDU - 3853 (概率dp):(希望通过该文章梳理自己的式子推导)
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题意:就是让你从(1,1)走到(r, c)而且每走一格要花2的能量,有三种走法:1,停住。2,向下走一格。3,向右走一格。问在一个网格中所花的期望值。
首先:先把推导动态规划的基本步骤给出来。
· 1.设变量:(注意:设置变量时,要能够使整个求解过程可以分为多个阶段。)
2.分析阶段决策,并写出决策函数。(也就是能体现前阶段决策后阶段关系的函数)
3.写出指标函数。(也是就是我们得出解的函数。)
先第一步:设置变量,我们分析这个题的是从(1,1)到(r, c)那么什么能体现“阶段”这个词的东西呢?
十分明显,那就是步数(把停下也看做一步)啊;那么来具体分析一下。假设:我们走到(x,y)那么他的上一阶段是不是有三种可能,那么这三种上一阶,是不是由上上一阶的决策所决定的。是不是这样就把分层分阶段给划出来了。那么我们就设dp[i][j] 表示走到(x,y)时的期望值,最重要的是i,j的意义。
然后第二步:(分析决策函数)
设Sk便是第k阶段. 设决策为Pk
则S1={(1,1),(2,1),(1,2);则,那么Pk就在S1中决策,我们这道题的决策P1=P01+P02+P03 <=>dp[1][1]=dp[1][1]+dp[2][1]+dp[1][2](我只是想更好的让大家理解这个决策)。好了,这个决策函数就写好了
最后第三步:(分析指标函数)
设Vk为指标函数。当然,一般有最值等等类型。我还是回到原题。假设走到(x, y)那么这前部的期望值是由决策函数来决策的。
回到决策函数:Pk=P(k-1)1+P(k-1)2+P(k-1)3 (设h1,h2, h3分别是对应的概率) 那么Vk=(h1*P(k-1)1+h2*P(k-1)2+h3*P(k-1)3+2)
好了,其实指标函数就是动态规划方程式了, dp[i][j]=(p[i][j][0]*dp[i][j]+p[i][j][1]*dp[i][j+1]+p[i][j][2]*dp[i+1][j]+2) ===>
dp[i][j]=(p[i][j][1]*dp[i][j+1]+p[i][j][2]*dp[i+1][j]+2)/(1-p[i][j][0]);
ac代码:
#include<cstring> #include<cstdio> #define maxn int(1e3+2) double dp[maxn][maxn], p[maxn][maxn][3]; int main(){ int r, c; while (scanf("%d%d", &r, &c) != EOF){ for (int i = 1; i <= r;++i) for (int j = 1; j <= c;++j) for (int k = 0; k < 3; ++k) scanf("%lf", &p[i][j][k]); dp[r][c] = 0; for (int i = r; i>0; --i) for (int j = c; j > 0;--j) if (p[i][j][0] == 1||i==r&&j==c)continue; else { dp[i][j] = (p[i][j][1] * dp[i][j + 1] + p[i][j][2] * dp[i + 1][j] + 2) / (1 - p[i][j][0]); } printf("%.3lf ", dp[1][1]); } }
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