由Catalan数所引出的

Posted 2021-01-09 719666a

百度一番：

历史

·1758年，Johann Segner 给出了欧拉问题的递推关系；

·1838年，研究热潮：

–GabrielLame给出完整证明和简洁表达式；

–EugèneCharlesCatalan在研究汉诺塔时探讨了相关问题,解决了括号表达式的问题。

–……

–1900年，EugenNetto在著作中将该数归功于Catalan。

·1988年以及1999年的文献研究表明实际上最初发现Catalan数的也不是Euler。

–1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候，推出了Catalan数。

–1730年我国清朝时期的明安图（蒙古人）比Catalan更早使用了Catalan数，见《割圜密率捷法》。后来他的学生在1774年将其完成发表。

最后由比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)命名。

 

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为（从第零项开始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡特兰数Cn满足以下递推关系 [1]  ：

公式一

递归公式

h(0)=h(1)=1

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法，那么数据一大就在时空上很麻烦

公式二

递推公式

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

这个公式应用递推，看上起十分和善

但对大数据呢？

我们注意到大数据的时候h(n)会很大，这时候题目一般会让你对某素数取模（当然你可以打高精度（划掉））

但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0

那么根据公式下面所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了

公式三

组合数公式1

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上面的公式

而组合数就是一个杨辉三角，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃））

但我们发现对于大数据你要取模，而对于除法你是没办法用膜的性质的（当然你可以应用逆元（划掉）），所以造成了麻烦

公式四

组合数公式2

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1) (n=0,1,2,...)

与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法

减法是可以用膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。