CF 643 E. Bear and Destroying Subtrees

Posted 2021-01-07 mjtcn

E. Bear and Destroying Subtrees

http://codeforces.com/problemset/problem/643/E

题意：

　　Q个操作。

1. 加点，在原来的树上加一个点，之后还是一棵树，初始时一个点。
2. 让一棵子树内每条边有1/2的概率消失，然后的深度为：剩余的与子树的根联通的点中深度最大的。询问假如攻击这个点，期望深度。

分析：

　　可以枚举一个深度，计算概率。

　　f[x][i]表示以x为根的子树中，深度为<=x的概率。那么答案就是$sum_{h=1}^{MAX\_H}h imes(f[x][h]-f[x][h-1])$。

　　考虑如何求出f数组：直接将所有子树小于等于h的概率相乘，$f[x][h]=prod_{v=son_x}(frac{1}{2}+frac{1}{2}f[v][h-1])$

　　考虑如何维护f数组，如果加入一个点，那么只会影响到父节点到根的路径，而且每个点只会影响一个，即距离它为k的点（设为y），只有f[y][k-1]受到影响。因为增加一个点后，它的父节点的0会受到影响（乘1/2），那么父节点的父节点的1就受到影响，以此类推。还可以理解为：因为增加了一个点，y的最长路径不是y-1了， 那么概率也不是1了，因为如果长度为k的概率要求新增的这个点的边断开才行。y的其他的值不受影响吗？f[y][k-2]要求距离它k-1的点必须断开，距离大于k-1的剩下的随便了。 那么，直接暴力修改这条路径即可。每个点除以原来的f[v][h-1]，乘以新的f[v][h-1]。

　　由于路径长度是很长的（可以5e5），直接暴力修改会T。

　　发现如果路径很长之后，它的概率就会非常小，$frac{1}{2^h}$，所以只需确定一个更新的深度，这个深度不会影响精度，然后每次修改这些个点即可。

　　具体题解里说明 http://codeforces.com/blog/entry/44754

记录一下当时的想法：f[x][i]为x子树内深度为i的概率。发现转移起来真是麻烦。

首先可以然后它的一个子节点为i，然后其他的节点为0~i，然后，相乘，再除以2。（或者每个点只乘以左边的，那么就不需要除以2了）。然后就需要在记录前缀和，就成了和上面差不多了。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 #include<cctype>
 7 #include<set>
 8 #include<vector>
 9 #include<queue>
10 #include<map>
11 #define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
12 #define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 
16 inline int read() {
17     int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1;
18     for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f;
19 }
20 
21 const int N = 500005;
22 const int H = 60;
23 
24 double f[N][H+2];
25 int fa[N], n = 1;
26 
27 void add(int x) {
28     fa[++n] = x;
29     for (int i=0; i<=H; ++i) f[n][i] = 1;
30     double t1 = f[x][0], t2;
31     f[x][0] *= 0.5;    
32     for (int i=1; i<=H; ++i, x=fa[x]) {        
33         int p = fa[x]; if (!p) break;
34         t2 = f[p][i];
35         f[p][i] = f[p][i] / (0.5 + 0.5 * t1);
36         f[p][i] = f[p][i] * (0.5 + 0.5 * f[x][i - 1]);
37         t1 = t2;
38     }
39 }
40 void query(int x) {
41     double ans = 0;
42     for (int i=1; i<=H; ++i) 
43         ans += i * (f[x][i] - f[x][i - 1]);
44     printf("%.10lf
",ans);
45 }
46 int main() {
47     int Q = read();
48     for (int i=0; i<=H; ++i) f[1][i] = 1;
49     while (Q --) {
50         int opt = read(), a = read();
51         if (opt == 1) add(a);
52         else query(a);
53     }
54     return 0;
55 }