CF573E Bear and Bowling

Posted 2022-12-14 cjoiershiina-mashiro

题目
我们设\(f_i,j\)表示前\(i\)个数中选\(j\)个的最大值。
那么显然有\(f_i,j=max(f_i-1,j,f_i-1,j-1+j*a_i)\)。
这个东西我们首先可以把它的第一维给滚掉。
然后我们知道这是个\(O(n^2)\)的东西，所以要考虑优化。
有一个结论是\(\forall i\in[1,n],\exist k\in[1,i],s.t.\forall j\in[0,k),f_i,j=f_i-1,j,\forall j\in[k,i],f_i,j=f_i-1,j-1+j*a_i\)
这个东西感性理解一下吧，就是你前面选的越多，选\(a_i\)时可能产生的贡献就越大。
具体证明上洛谷题解里面找吧。
那么我们每次可以把\(k\)二分出来，然后就相当于在原序列的\(f_k-1,f_k\)之间再插一个\(f_k\)进去，后面的\(f_j\)加上一个等差数列\(a_i*j\)。
这个东西可以用平衡树来做。

#include<bits/stdc++.h>
#define lc ch[p][0]
#define rc ch[p][1]
#define ll long long
using namespace std;
int read()int x;scanf("%d",&x);return x;
ll max(ll a,ll b)return a>b? a:b;
const int N=100007;
int fa[N],ch[N][2],s[N],n,root,cnt;ll A[N],B[N],val[N];
int isr(int x)return ch[fa[x]][1]==x;
void pushup(int p)s[p]=s[lc]+s[rc]+1;
void modify(int p,ll a,ll b)val[p]+=a*(s[lc]+1)+b,A[p]+=a,B[p]+=b;
void pushdown(int p) if(A[p]||B[p])  if(lc) modify(lc,A[p],B[p]); if(rc) modify(rc,A[p],B[p]+A[p]*(s[lc]+1)); A[p]=B[p]=0;  
void pushall(int x)if(fa[x])pushall(fa[x]);pushdown(x);
void rotate(int x)

    int y=fa[x],z=fa[y],k=isr(x);if(z)ch[z][isr(y)]=x;
    fa[x]=z,fa[y]=x,fa[ch[x][!k]]=y,ch[y][k]=ch[x][!k],ch[x][!k]=y,pushup(y);

void splay(int x)

    pushall(x);
    for(;fa[x];rotate(x)) if(fa[fa[x]]) rotate((isr(x)^isr(fa[x]))? x:fa[x]);
    pushup(root=x);

ll Kth(int k)

    int p=root;
    while(1)
    if(k>s[lc]+1) k-=s[lc]+1,p=rc;
    else if(s[lc]>=k) p=lc;
    else return splay(p),val[p];

ll query(int p)

    if(!p) return -1e18;
    pushdown(p);
    return max(val[p],max(query(lc),query(rc)));

int main()

    n=read(),s[1]=root=cnt=1;int i,x,l,r,mid,ans;
    for(i=1;i<=n;++i)
    
    x=read(),l=0,r=i-2,ans=i-1;
    while(l<=r)mid=l+r>>1;if(Kth(mid+1)+(mid+1ll)*x>Kth(mid+2))ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;
        Kth(ans+1),fa[++cnt]=root,fa[ch[root][1]]=cnt,ch[cnt][1]=ch[root][1],ch[root][1]=cnt,val[cnt]=val[root],modify(cnt,x,1ll*x*ans);
    
    return !printf("%lld",query(root));