1143: [CTSC2008]祭祀river

Posted 2021-01-07 inwill

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 4018  Solved: 2048
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　在遥远的东方，有一个神秘的民族，自称Y族。他们世代居住在水面上，奉龙王为神。每逢重大庆典， Y族都

会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着

两个岔口，并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然，水系中不会有环流（下图描述一个环流的例子）。

 

　　由于人数众多的原因，Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重，这些祭祀地点的选择必

须非常慎重。准确地说，Y族人认为，如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点，那么祭祀就会失去它神圣

的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上，选择尽可能多的祭祀的地点。

Input

第一行包含两个用空格隔开的整数N、M，分别表示岔口和河道的数目，岔口从1到N编号。

接下来M行，每行包含两个用空格隔开的整数u、v，

描述一条连接岔口u和岔口v的河道，水流方向为自u向v。

N≤100M≤1000

Output

第一行包含一个整数K，表示最多能选取的祭祀点的个数。

Sample Input

4 4
1 2
3 4
3 2
4 2

Sample Output

2
【样例说明】
在样例给出的水系中，不存在一种方法能够选择三个或者三个以上的祭祀点。包含两个祭祀点的测试点的方案有两种：
选择岔口1与岔口3（如样例输出第二行），选择岔口1与岔口4。
水流可以从任意岔口流至岔口2。如果在岔口2建立祭祀点，那么任意其他岔口都不能建立祭祀点
但是在最优的一种祭祀点的选取方案中我们可以建立两个祭祀点，所以岔口2不能建立祭祀点。对于其他岔口
至少存在一个最优方案选择该岔口为祭祀点，所以输出为1011。

 

Dilworth定理：偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等。

证明：http://www.cnblogs.com/itlqs/p/6636222.html

 

在有向无环图中，有如下的一些定义和性质：

链：一条链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足要么 x 能到达 y ，要么 y 能到达 x 。

反链：一条反链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足 x 不能到达 y，且 y 也不能到达 x。

一个定理：最长反链长度 = 最小链覆盖（用最少的链覆盖所有顶点）

对偶定理：最长链长度 = 最小反链覆盖

 

题目问题可以转化为求最长反链的长度，而最长反链可以由二分图匹配来求

首先用floyd算法判断联通性，建立连通图

接下来建立二分图，左边n个点，右边n个点，按照河道连接

跑一遍二分图匹配

ans=n-二分图最大匹配

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int MAXN=2000;
 7 int n,m,ans;
 8 int match[MAXN];
 9 bool map[MAXN][MAXN],vis[MAXN];
10 
11 bool find(int x)
12 {
13     for(int i=1;i<=n;i++)
14         if(map[x][i]&&!vis[i])
15         {
16             vis[i]=true;
17             if(match[i]==0||find(match[i]))
18             {
19                 match[i]=x;
20                 return true;
21             }
22         }
23     return false;
24 }
25 
26 int main()
27 {
28     scanf("%d%d",&n,&m);
29     for(int i=1;i<=m;i++)
30     {
31         int x,y;
32         scanf("%d%d",&x,&y);
33         map[x][y]=1;
34     }
35     for(int i=1;i<=n;i++)
36         for(int j=1;j<=n;j++)
37             for(int k=1;k<=n;k++)
38                 if(map[i][k]&&map[k][j]) map[i][j]=1;
39     for(int i=1;i<=n;i++)
40     {
41         memset(vis,0,sizeof(vis));
42         if(find(i)) ans++;
43     }
44     printf("%d
",n-ans);
45     return 0;
46 }