P3802 小魔女帕琪

Posted 2021-01-04 lltyyc

传送门

考虑前面7个魔法

如果前面七个魔法各不相同，那么就能完成一次帕琪七重奏

设 A=a1*a2*...*a7，S=a1+a2+...+a7，B=S*(S-1)*...*(S-6)

对于不同的施法顺序，前面七个魔法各不相同的概率总是：A/B

不同的顺序如： a1,a3,a2,a4,a5,a6,a7 和 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 是不同的施法顺序

它们的概率分别为：(a1 / S) * (a3 / (S-1)) * (a2 / (S-2)) * (a4 / (S-3)) * (a5 / (S-4)) * (a6 / (S-5)) * (a7 / (S-6))

　　　　　　　　  : (a1 / S) * (a2 / (S-1)) * (a3 / (S-2)) * ... * (a7 / (S-6))

稍微整理一下就是（a1*a2*...*a7）/（S*(S-1)*...*(S-6)）  =    A/B

所以就算施法顺序不同，但是概率总是一样的

不同的施法顺序总共有 7! 种

所以对于前面七个魔法的所有顺序，触发一次帕琪七重奏的概率就是 7! * (A/B)

对于考虑第 2~8 个魔法

那么如果第 8 个魔法和第 1 个魔法相同，就有可能再次触发帕琪七重奏

如果第 1 个魔法为 a1 ，那么第 8 个魔法为 a1 的概率为 （a1-1）/（S-7），第 2~8 个魔法能再次触发帕琪七重奏总概率为

（a2*a3...*a7*(a1-1)）/（(S-1)*(S-2)*...*(S-7)）

化简得 （A/a1*(a1-1)）/（B/S*(S-7)）

如果第一个魔法为 a2 那么第 8 个魔法为 a2 的概率为 （a2-1）/（S-7），

总概率同样化简得 （A/a2*(a2-1)）/（B/S*(S-7)）

...

...

...

一直到 （a7-1）/（S-7），总概率同样化简得 （A/a7*(a7-1)）/（B/S*(S-7)）

那么把7种情况的概率加起来：（A/a1*(a1-1)+A/a2*(a2-1)+...+A/a7*(a7-1)）/（B/S*(S-7)）

把A和B提取出来并化简得（最好自己在纸上写一下）：

(A/B)*（(a1-1+a1-1+...+a7-1)*S/(a1*a2*...*a7)/(S-7)）  =  (A/B)*（(S-7)*S/S/(S-7)） = (A/B)*1      !!!!!

 

所以第 2~8 个魔法能触发帕琪七重奏的概率就是 7! * A/B（因为第 2~8 个魔法也有 7! 种组合）

 

同理第 3~9 个魔法能触发帕琪七重奏的概率也一样（可以用同样的方法，自己在纸上写一下，就不一一列举了）

 

所以总期望就是 7! * A/B * (S-6)      （乘上S-6 是因为期望要从第 1~7 个魔法算到第 (S-6)~S 个魔法，一共算了 S-6 次）