洛谷P3802：小魔女帕琪

Posted 2020-10-07 a799091501

题目背景

从前有一个聪明的小魔女帕琪，兴趣是狩猎吸血鬼。

帕琪能熟练使用七种属性（金、木、水、火、土、日、月）的魔法，除了能使用这么多种属性魔法外，她还能将两种以上属性组合，从而唱出强力的魔法。比如说为了加强攻击力而将火和木组合，为了掩盖弱点而将火和土组合等等，变化非常丰富。

题目描述

现在帕琪与强大的夜之女王，吸血鬼蕾咪相遇了，夜之女王蕾咪具有非常强大的生命力，普通的魔法难以造成效果，只有终极魔法：帕琪七重奏才能对蕾咪造成伤害。帕琪七重奏的触发条件是：连续释放的7个魔法中，如果魔法的属性各不相同，就能触发一次帕琪七重奏。

现在帕琪有7种属性的能量晶体，分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7(均为自然数)，每次释放魔法时，会随机消耗一个现有的能量晶体，然后释放一个对应属性的魔法。

现在帕琪想知道，她释放出帕琪七重奏的期望次数是多少，可是她并不会算，于是找到了学OI的你

输入输出格式

输入格式：

一行7个数字，a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7

输出格式：

一个四舍五入保留3位的浮点数

 

人话题意：7种魔法，每种数量不一定，求最多可以有多少个长度为7的全部不同子序列

题解：

一道数学题...然而我居然看了半天没看懂题解，我真是太弱啦！

七种可能比较难考虑 我们从两种开始

假设将题里的7换成2 并且已知第一种为2，第二种为1

不妨设填数的时候是按顺序填，那么根据组合数学的知识，我们显然可以看出

填第一个数时填到的几率显然是2/(2+1)

第二个数填的几率当然是1/(2+1-1)

这里2+1-1 表示的是sigma(ai)-1，想一想是挺显然的 因为实际上只是由于前面填了k个数（当然这个例子里k=1）

因为每个事件是独立的 根据乘法原理 概率显然是他们的乘积

但我们忽略了一个问题 实际上这7种魔法可以任意组合 于是需要在结果前乘上一个7的阶乘

于是我们就可以得到表达式

设n=sigma(ai)，可以表示为7!*a1/n*a2/n-1*a3/n-2*......*a6/n-5*a7/n-6

但这就结束了吗？

你以为结束了 其实没结束哒!

注意到我们是枚举第i端区间的开头 也就是说有n-6端完整的区间 而在n-6之后已经无法以i为开头成为一个长度为7的区间了

因此需要在答案上乘上一个n-6

发现恰好可以约掉 那么答案就是7!*a1/n*a2/n-1*a3/n-2*......*a6/n-5*a7...

———————————————我是萌萌哒分割线—————————————————————————————

很难想象这是一道分类为普及/提高-的题......

我真是太弱啦！