计蒜客 30999 - Sum - [找规律+线性筛][2018ICPC南京网络预赛J题]

Posted 2021-01-03 dilthey

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/30999

 

样例输入
2
5
8

样例输出
8
14

 

题意：

squarefree数是指不含有完全平方数（ 1 除外）因子的数，

现在一个数字 $n$，可以表示成两个squarefree数 $a,b$ 相乘，即 $n = ab$，

假设 $fleft( n ight)$ 代表了 $n$ 分解成不同的数对 $left( {a,b} ight)$ 的个数，

现在给你一个 $n$，要求 $fleft( 1 ight) + fleft( 2 ight) + cdots + fleft( n ight)$。

 

题解：

不难发现，若 $n$ 含有一个因子是立方数乃至更高次方数，则此时 $fleft( n ight) = 0$，例如 $fleft( {2^3 imes 3} ight) = 0,fleft( {3^4 } ight) = 0$；

则剩下来的数，因子最多就是平方数，不妨举些例子来看每个因子能提供多少贡献：

最开始是 $fleft( 1 ight) = 1$，因为只有 $1 = 1 imes 1$，然后我们给它乘上一些因子……

　　1、乘上指数为 $1$ 的因子，例如 $fleft( {1 imes 2} ight)$，加进来的 $2$ ，可以添加在原来$1  imes 1$的乘号左边（$2 imes 1$），也可以添加在右边（$1 imes 2$），所以贡献了“$ imes 2$”，即 $fleft( {1 imes 2} ight) = fleft( 1 ight) imes 2$；

　　2、乘上指数为 $2$ 的因子，例如 $fleft( {1 imes 2^2 } ight)$，加进来的 $2^2$，它不能全部添加在某一边，只能拆开来，一半添加在乘号左边，一半添加在乘号右边，即$2 imes 2$，所以贡献了“$ imes 1$”，即 $fleft( {1 imes 2^2} ight) = fleft( 1 ight) imes 1$。

那么依次类推，再在后面乘上一些因子，同样的道理，指数为 $1$ 则贡献为“$ imes 2$”，指数为 $2$ 则贡献为“$ imes 1$”。

很容易的就能得到递推规律：假设 $n$ 的最小素因子是 $p$，则有 $n = m imes p^x$，我们分两种情况讨论：

　　1、$x = 1$，$p$ 的贡献为“$ imes 2$”，就有 $fleft( n ight) = fleft( m ight) imes 2$；

　　2、$x = 2$，$p$ 的贡献为“$ imes 1$”，就有 $fleft( n ight) = fleft( m ight)$；

 

那么，现在的关键就是求得 $1$ 到 $2 imes 10^7$ 的每个数字的最小素因子，线性筛素数的时候可以顺带求出。

 

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2e7+5;
const int MAX=2e7;

int n;
int mpf[maxn]; //存储最小素因子

/************************** 线性筛 - st **************************/
int prime[maxn];
int isPrime[maxn];
void Screen() //欧拉筛法求素数
{
    register int cnt=0;
    memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
    isPrime[0]=isPrime[1]=0;
    for(int i=2;i<=MAX;i++)
    {
        if(isPrime[i]) prime[cnt++]=i, mpf[i]=i;
        for(int j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>MAX) break;
            isPrime[i*prime[j]]=0, mpf[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
/************************** 线性筛 - ed **************************/

long long f[maxn];

int main()
{
    Screen();

    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;i++)
    {
        int mm = mpf[i];
        if((long long)mm*mm < MAX && (long long)mm*mm*mm < MAX && i%(mm*mm*mm) == 0) f[i]=0;
        else if((long long)mm*mm < MAX && i%(mm*mm) == 0) f[i]=f[i/mm/mm];
        else f[i]=2*f[i/mm];
    }
    for(int i=2;i<=MAX;i++) f[i]+=f[i-1];

    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld
",f[n]);
    }
}