建堆是O(n)的复杂度证明

Posted 2021-01-03 lzyrapx

建堆的复杂度先考虑满二叉树，和计算完全二叉树的建堆复杂度一样。

对满二叉树而言，第 (i) 层(根为第 (0) 层)有 (2^i) 个节点。

由于建堆过程自底向上，以交换作为主要操作，因此第i层任意节点在最不利情况下，

需要经过 ((n - i)) 次交换操作才能完成以该节点为堆根节点的建堆过程。

因此，时间复杂度计算如下：

(T(n) = 2^0 * (n - 0) + 2^1 * (n - 1) + ... + 2^n * (n - n) = sum_{i = 0}^{n}(2^i * (n - i)))

将上式乘以 (2)得：

(2*T(n) = 2^1 * (n - 0) + 2^2 * (n - 1) + ... + 2^{n+1} * (n - n) = sum_{i = 1}^{n+1}(2^i * (n - i)))

原式减去上式得：

(2T(n) - T(n) = -n + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2 * frac{1 - 2^n} {1 - 2} - n = 2^{n+1} - 2 - n).

上面推导中，(n) 为层数编号（自 (0) 层根节点开始）。

故总节点数为 ((1 + 2 + 4 + ... + 2^n) = 2^{n+1} - 1)。

渐进时，忽略减 (1) 取 (N ＝ 2^{n+1}) 。

所以，(T(N) = 2^{n+1} - n - 2 = N * (1 - frac{logN} { N} - frac{2} {N}) ≈ N).

所以，建堆的时间复杂度为 (O(N)) ，得证。