左式堆

Posted 2021-03-07 exhina

1. 堆合并

两个完全二叉堆的合并算法：

1.1 A.insert( B.del_max() )

完全二叉堆是基于vector实现的，故若采用合并算法，只需将堆A(n)作为一个基本堆，进而不断的将堆B(m)的元素进行删除取出，重新插入A中。

每次迭代为一次删除和一次插入操作，共进行m次迭代。

复杂度为 m * { O（logm）+ O（log(n + m)） } — O（mlogn）

1.2 Floyd建堆算法

将两个堆的元素任意混合为一个新的向量，只需O(min(n,m))时间，再调用建堆算法，其复杂度为O（n + m）

以上两种算法的复杂度都不尽人意，没有考虑两个堆已经是偏序的堆

2. 空节点路径长度

在二叉搜索树中，在逻辑上定义内部节点和外部节点，外部节点为度为0/1节点的孩子，从而实现建立一棵度均为偶数的树。

Null Path Length — npl(x)

1)      当前节点为外部节点npl(x) = 0

2)      当前节点为内部节点，npl(x) = 1 + min( npl(lc), npl(lc) )，左右孩子中空节点长度的最小值加1

3)      npl(x) = x到外部节点的最短路径

4)      也是以x为根的最大满子树的树高

3. 左倾性

要满足左倾性，内部节点x的左孩子的npl不小于右孩子的npl

npl(x->lc)  >= npl(x->rc) 由此可知，npl(x) = 1 + npl(x->rc)

但是并不意味着左孩子的规模和高度也大于其右孩子

 

4. 右侧链

从x出发，一直沿着其右侧孩子路径出发，到达外部节点时，其路径为右侧链rPath(x)，显然由于npl(x) = 1 + npl(x->rc)，每个节点的npl值都是由右侧子孙决定的。

根节点的右侧通路的终点必然是全堆深度最小的外部节点，由此构成一棵以r为根，d为rPath(root)的满二叉树。

计算可知，其右侧链长度不过O(logn)

5. 左式堆

左式堆是优先级队列的另外实现形式，能够在O(logn)的复杂度实现两堆的合并，其需要调整的节点数只在O(logn)下实现。

5.1 左式堆的合并

合并A堆和B堆，只需将A堆的右子堆与B堆进行合并，从而递归的实现。

设置A>=B

Merge(A,B)

其细节在于:

1. 每次调整前需比较A,B的大小，始终保持A>=B，进行交换即可

2. 合并完成后，需要更新A的右子堆子父关系A->rc->parent = A

3. 更为重要的是，需要比较A的新右子堆和左子堆的npl关系,保证左孩子的npl不小于右孩子npl，为此进行交换即可