复平面上的初等解析几何——圆和直线

Posted 2021-01-02 xiongruimath

今天搬完了宿舍，发现去年复习复分析的时候整理了一下这一点，下面我将其$TeX$化，原手写稿请见这里。

 

下面介绍一些复平面上的直观，因为我们解析几何通常以实数为基本，遇到复平面上的直线和圆时有时会很棘手，下面对此作一些整理。

 

注：之后$overline{z}$均表示$z$的共轭。

 

首先是圆和直线的方程。

命题1. 复平面上直线与圆的方程共享同一种形式，他们是$$alpha zoverline{z}+eta z+overline{eta}overline{z}+gamma =0 qquad alpha,gammain mathbb{R}, etain mathbb{C}, Delta=|eta|^2-alphagamma>0$$且圆心为$-frac{overline{eta}}{alpha}$, 半径为$frac{sqrt{Delta}}{alpha}$. 

证明. 不难发现方程左边的虚部总为$0$, 故只有实部有效, 带入$z=x+yi$得到实部的方程是$$alpha x^2+alpha y^2+2 (Re eta) x - 2(Im eta) y + gamma=alphaleft[left(x-frac{Re eta}{alpha} ight)^2+left(y+frac{Imeta}{alpha} ight)^2 ight]-frac{(Re eta)^2+(Im eta)^2-alphagamma}{alpha}=0$$故原方程化为$$left(x-frac{Re eta}{alpha} ight)^2+left(y+frac{Imeta}{alpha} ight)^2=frac{|eta|^2-alphagamma}{alpha^2}=frac{Delta}{alpha^2}$$从而圆心是$-frac{overline{eta}}{alpha}$, 半径为$frac{sqrt{Delta}}{alpha}$. 平凡的情况$alpha=0$不难知道. $square$

 以下是一些注记。

注记. 以下是一些特殊情况. 

• 当$alpha=0$时, 原方程是一条直线, 方向为$ioverline{eta}$(即$eta$交换实部虚部)且实轴上经过$frac{gamma}{2Re eta}$虚轴上经过$ifrac{gamma}{2Im eta}$两点, 进而经过$frac{gamma}{2eta}$. 
• 当$eta=0$时, 原方程是一个圆心在原点的圆, 特别地, $zoverline{z}=1$就是单位圆周. 
• 过原点角度为$ heta$的直线的方程是$mathrm{e}^{-i heta}z=mathrm{e}^{i heta }overline{z}$. 

 然后是著名的M?bius变换。

定义(M?bius变换). 对于$A=left(egin{matrix} a& b\\ c& dend{matrix} ight)in operatorname{GL}_2(mathbb{C})$(即$ad-bc eq 0$)定义扩充复平面到扩充复平面的映射$$mu_{A}: zlongmapsto frac{az+b}{cz+d}$$

例子. 有如下典型的M?bius变换, 

• 平移. $zmapsto z+b$. 
• 旋转. $zmapsto az$, $|a|=1$. 
• 位似. $zmapsto rz$, $r>0$. 
• 标准反演. $zmapsto 1/z$. 用极坐标写就是$rmathrm{e}^{i heta}mapsto frac{1}{r} mathrm{e}^{-i heta}$. 此时将方程$alpha zoverline{z}+eta z+overline{b}overline{z}+gamma =0$变为$gamma zoverline{z}+overline{eta} z+boverline{z}+alpha=0$, 圆心由$-frac{overline{eta}}{alpha}$变为$-frac{eta}{gamma}$, 半径由$frac{sqrt{Delta}}{alpha}$变为$frac{sqrt{Delta}}{gamma}$. 如下图

实际上, 所有M?bius变换都可以由上述映射复合而来, 这本质上都是中学数学的技巧. 实际上, 用线性代数的话说, 他们分别对应着一些初等矩阵. 

 对于平移旋转和位似我们已经有直观，所以为了感受到M?bius变换，要直观感受反演显得关键。

命题(反演). 关于标准反演有如下直观

• 将圆心在$0$半径为$r$的圆映射为圆心在$0$半径为$1/r$的圆. 特别地, 保持单位圆周不动. 
• 将过$0$以角度$ heta$的直线映为过$0$角度为$- heta$的直线. 

• 将过$0$的圆映射为直线. 特别地, 如果这个圆与单位圆相切, 这对应的直线与圆相切. 

• 将与单位圆周正交的圆映为关于实轴的镜像.

 

证明. 前两者不难根据刻画或者方程得到. 后两者可以用初等几何论证, 第一个证明是利用了相似的原理, 第二个证明则是圆幂定理. $square$ 

 除了M?bius变换，还有著名的单位圆周内部的Blaschke变换

定义(Blaschke变换). 令$D$是闭单位圆盘, 对于$|alpha|<1$, 定义Blaschke变换$$varphi_{alpha}: Dlongrightarrow Dqquad zlongmapsto frac{z-alpha}{overline{alpha}z-1}$$

评注. 对于其映射定义良好(即像落在$D$中)可以初等验证, 也可以利用最大模原理证明边界上的像在单位圆周上即可. 

命题. 关于Blaschke变换$varphi_{alpha}$有如下直观

• $alphamapsto 0, 0mapsto alpha$. 
• $varphi_{alpha}circ varphi_{alpha}=operatorname{id}_U$. 
• 将圆周上的点$z$映射为$z$与$alpha$连线与圆周相交的另一点. 

• 用$ au_{ heta}$表示绕着原点旋转$ heta$的变换, 则$ au_{ heta}circ varphi_{alpha}=varphi_{ au_{ heta}(alpha)}circ au_{ heta}$. 

证明.第二点是因为因为$$zmapsto wiff overline{alpha}zw+alpha=z+w$$对于第三点, 可以这样论证, 先不妨假定$alpha$为实数, 如下图

中间左边的向量即为$alpha$, 两边的角度分别是$ heta_1, heta_2$(带方向, 图中一正一负), 外侧两腰长度为$1$. 则从左向右对应的复数分别为$$mathrm{e}^{i heta_1}, alpha, alphamathrm{e}^{i( heta_1+ heta_2)},mathrm{e}^{i heta_2}$$两边之和等于中间之和即$$mathrm{e}^{i heta_1}+mathrm{e}^{i heta_2}=alpha(mathrm{e}^{i( heta_1+ heta_2)}+1)$$这就说明$$mathrm{e}^{i heta_2}=frac{mathrm{e}^{i heta_1}-alpha}{alphamathrm{e}^{i heta_1}-1}$$这就证明了结论. $square$

 主要的参考文献是Rudin的《实分析与复分析》和著名的《复分析可视化原理》。