空间平面及其方程
Posted 炫云云
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了空间平面及其方程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
平面是随处可见的空间形状
问题1：如何从几何上确定一个平面？
- 不在一条直线上的三点确定一个平面 ．
- 过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面．
- 一条直线和直线外一点确定一个平面．
- 两相交直线确定一个平面．
- 两平行直线确定一个平面．
问题2：如何从代数上描述一个平面 ？
用代数方程式刻画平面上动点的轨迹，即建立平面的方程 .
在直角坐标系下，建立动点坐标满足的方程式 .
平面的参数方程
不在一条直线上的三点确定一个平面
要素：点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} a,b （已知要素）
任务：求平面 π \\pi π 的方程即动点 𝑀 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) M(x,y,z)的轨迹方程．
依据： M 0 M → \\overrightarrow{M_{0} M} M0M与不共线的向量 𝒂 , 𝒃 共面 .
关系式：
M
0
M
→
=
λ
a
+
μ
b
\\large{\\color{red}{\\overrightarrow{M_{0} M}=\\lambda \\boldsymbol{a}+\\mu \\boldsymbol{b}}}
M0M=λa+μb
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
\\boldsymbol{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right),\\boldsymbol{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right)
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 得到：
π
:
{
x
=
x
0
+
λ
a
1
+
μ
b
1
y
=
y
0
+
λ
a
2
+
μ
b
2
z
=
z
0
+
λ
a
3
+
μ
b
3
(1)
\\boldsymbol{\\pi}:\\left\\{\\begin{array}{l}x=x_{0}+\\lambda a_{1}+\\mu b_{1} \\\\ y=y_{0}+\\lambda a_{2}+\\mu b_{2} \\\\ z=z_{0}+\\lambda a_{3}+\\mu b_{3}\\end{array}\\right.\\tag1
π:⎩⎨⎧x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2z=z0+λa3+μb3(1)
称为平面
π
\\pi
π 的参数方程
.
.
.其中
λ
,
μ
\\lambda, \\mu
λ,μ 为参数。
- 平面上的点都满足方程 。
- 满足方程的点都在平面上， 不在平面上的点不满足方程 .
平面的向量式方程
M
0
M
→
=
λ
a
+
μ
b
\\large{\\color{red}{\\overrightarrow{M_{0} M}=\\lambda \\boldsymbol{a}+\\mu \\boldsymbol{b}}}
M0M=λa+μb ，由
r
=
O
M
→
=
(
x
,
y
,
z
)
r
0
=
O
M
0
→
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
r=\\overrightarrow{O M}=(x,y,z)\\\\ r_0=\\overrightarrow{O M_0}=(x_0,y_0,z_0)
r=OM=(x,y,z)r0=OM0=(x0,y0,z0)
得到：
π
:
r
=
r
0
+
λ
a
+
μ
b
\\quad \\pi: r=r_{0}+\\lambda a+\\mu b
π:r=r0+λa+μb.
称为平面的向量式方程.
平面的行列式方程
要素：点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} a,b （已知要素）
依据：三向量 M 0 M → , a , b \\overrightarrow{M_{0} M}, \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\quad M0M,a,b 共面,则它们的混合积为 0 .
平面
π
\\pi
π 的行列式方程为
∣
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
∣
=
0
\\left|\\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\end{array}\\right|=0
∣∣∣∣∣∣x−x0a代数52 ----旋转曲面及其方程