Bellman-Ford与SPFA

Posted 2021-01-01 lfri

一、Bellman-Ford

Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径(当然也可以是无向图)。与Dijkstra相比的优点是，也适合存在负权的图。

若存在最短路(不含负环时)，可用Bellman-Ford求出，若最短路不存在时，Bellman-Ford只能用来判断是否存在负环。

松弛：　　

　　每次松弛操作实际上是对相邻节点的访问(相当于广度优先搜索)，第n次松弛操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过|V| - 1条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径，也可只时间复杂度为O(VE)。

负边权操作：

　　与迪科斯彻算法不同的是，迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定：

　　因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

基本操作：

1. 创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0；
2. 计算最短路径，执行 V - 1 次遍历；
   • 对于图中的每条边：如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d；
3. 检测图中是否有负权边形成了环，遍历图中的所有边，计算 u 至 v 的距离，如果对于 v 存在更小的距离，则说明存在环(无向图不能用这种方法判断负环)

正确性：

　　Bellman-Ford 算法采用动态规划进行设计，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。简单的说我们用

dis[k][v]表示经过前i个顶点到达v的最短路，易得转移方程dis[k][v] = min(dis[k][v],dis[ k -1][u] + w)。未使用滚动数组优化空间时，实现的代码如下：

 1 int dis[maxv][maxv];        //dis[k][v];表示选取前k个时到达i的最短距离
 2 struct Edge
 3 {
 4     int u, v, w;
 5 }edge[maxv];
 6 int n, m;
 7 
 8 void Bellman_Ford(int s)
 9 {
10     memset(dis, INF, sizeof(dis));
11     for (int i = 1; i <= n; i++)  dis[i][s] = 0;
12     for (int k = 1; k <= n - 1; k++)            
13         for (int i = 0; i < m; i++)                
14         {
15             int u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
16             dis[k][v] = min(dis[k][v], dis[k - 1][u] + w);
17         }
18 }

 优化：

循环的提前退出：

　　在实际操作中，贝尔曼-福特算法经常会在未达到 |V| - 1 次前就出解，|V| -1 其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权环判定。

 队列优化：

　　即SPFA

二、SPFA

是一个用于求解有向带权图单源最短路径的改良的贝尔曼-福特算法(当然也可以通过将每条边换为两条逆向的边来用于无向图)。这一算法被认为在随机的稀疏图上表现出色，并且极其适合带有负边权的图。然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与Bellman-Ford算法相同，因此在非负边权的图中仍然最好使用Dijkstra。

原理：

　　基于Bellman-Ford之外，再可以确定，松弛操作必定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上，用一个队列记录松弛过的节点，可以避免了冗余计算。

优化：

　　SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。我们注意到其与Dijkstra很像，一方面，优先队列替换成普通的FIFO队列，而另一方面，一个节可以多次进入队列点。

　　事实上，如果 q 是一个优先队列，则这个算法将极其类似于戴克斯特拉算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有两种可用的技巧可以用来提升队列的质量,并且借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。两种技巧通过重新调整 q 中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。

距离小者优先(Small Lable First(SLF))：

　　将总是把v压入队列尾端改为比较dis[v]与dis[q.front()]的大小(为了避免出现队列为空的操作，先将v压入队尾)，并且在v较小时将v压入队列的头端。

距离大者优先(Large Lable Last(LLL))：

　　我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。