ACwing（基础） --- Bellman-Ford&SPFA

Posted 2020-12-14 bingers

Bellman_ford算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；

但是SPFA算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用SPFA否则会死循环。

Bellman-Ford算法

• 时间复杂度O（nm），n表示点数，m表示边数

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
const int N = 510,M = 10010;

int n,m,k;
int dist[N],backup[N];//backup数组用来备份

struct Edge{      //边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
	int a,b,w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford(){
	mm(dist,inf);
	dist[1]=0;
       // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
	for(int i=0;i<n;i++){
                memcpy(backup,dist,sizeof dist);//备份
		for(int j = 0;j < m;j ++){
			int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
			dist[b] = min(dist[b],backup[a]+w);
		}
	}
	if(dist[n] > inf/2) return -1;
	return dist[n];
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=0;i<m;i++){
		int a,b,w;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
		edges[i]={a,b,w};
	}
	
	int t = bellman_ford();
	if(t == -1) puts("impossible");
	else printf("%d
",t);
	return 0;
}

SPFA算法

• 时间复杂度：一般情况下为O（m），最坏情况下为O（nm）

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;
int dist[N],vis[N];

void add(int a,int b,int c) {
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

int spfa() {
	queue<int> q;
	mm(dist,inf);
	dist[1]=0;
	q.push(1);
	vis[1]=1;
	while(q.size()) {
		int t = q.front();
		q.pop();
		vis[t]=0;//从队列中取出来之后该节点st被标记为false,代表之后该节点如果发生更新可再次入队
		for(int i=h[t]; i!=-1; i=ne[i]) {
			int j=e[i];
			if(dist[j]>dist[t]+w[i]) {
				dist[j]=dist[t]+w[i];
				if(!vis[j]) { //当前已经加入队列的结点，无需再次加入队列，即便发生了更新也只用更新数值即可，重复添加降低效率
					q.push(j);
					vis[j]=1;
				}
			}
		}
	}
	if(dist[n] == inf ) return -1;
	return dist[n];
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	mm(h,-1);
	while(m--) {
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(a,b,c);
	}
	int t = spfa();
	if(t == -1) puts("impossible");
	else printf("%d
",t);
	return 0;
}

转载自orzorz大佬

分析

终于来到SPFA算法了！之前已经说明过了Bellman_ford算法 ,我们今天说明的SPFA算法仅仅只是对该算法的一个优化。
Bellman_ford算法会遍历所有的边，但是有很多的边遍历了其实没有什么意义，我们只用遍历那些到源点距离变小的点所连接的边即可，只有当一个点的前驱结点更新了，该节点才会得到更新；因此考虑到这一点，我们将创建一个队列每一次加入距离被更新的结点。

值得注意的是

1. st数组的作用：判断当前的点是否已经加入到队列当中了；已经加入队列的结点就不需要反复的把该点加入到队列中了，就算此次还是会更新到源点的距离，那只用更新一下数值而不用加入到队列当中。
   即便不使用st数组最终也没有什么关系，但是使用的好处在于可以提升效率。
2. SPFA算法看上去和Dijstra算法长得有一些像但是其中的意义还是相差甚远的:

1 Dijkstra算法中的st数组保存的是当前确定了到源点距离最小的点，且一旦确定了最小那么就不可逆了(不可标记为true后改变为false)；SPFA算法中的st数组仅仅只是表示的当前发生过更新的点，且spfa中的st数组可逆(可以在标记为true之后又标记为false)。顺带一提的是BFS中的st数组记录的是当前已经被遍历过的点。

2 Dijkstra算法里使用的是优先队列保存的是当前未确定最小距离的点，目的是快速的取出当前到源点距离最小的点；SPFA算法中使用的是队列(你也可以使用别的数据结构),目的只是记录一下当前发生过更新的点。

3 Bellman_ford算法里最后return-1的判断条件写的是dist[n]>0x3f3f3f3f/2;而spfa算法写的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在于Bellman_ford算法会遍历所有的边，因此不管是不是和源点连通的边它都会得到更新；但是SPFA算法不一样，它相当于采用了BFS，因此遍历到的结点都是与源点连通的，因此如果你要求的n和源点不连通，它不会得到更新，还是保持的0x3f3f3f3f。

4 Bellman_ford算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；但是SPFA算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用SPFA否则会死循环。

5 由于SPFA算法是由Bellman_ford算法优化而来，在最坏的情况下时间复杂度和它一样即时间复杂度为 O(nm)O(nm) ，假如题目时间允许可以直接用SPFA算法去解Dijkstra算法的题目。(好像SPFA有点小小万能的感觉?)

6 求负环一般使用SPFA算法，方法是用一个cnt数组记录每个点到源点的边数，一个点被更新一次就+1，一旦有点的边数达到了n那就证明存在了负环。