权值线段树离散化介绍 （+利用 线段树 求逆序对）

Posted 2020-12-31 zhenglw

先介绍一下离散化
桶排大家应该知道，就是开一个数组（下标为数值，记录了该数值的出现次数）然后遍历过去如果出现次数不为零，那就输出这些数字，理论时间复杂度可以达到O(N)但是由于内存限制，不能开很大的数组。

然而 如果某个数列中的数字不要求大小确定，只要求这些数字有相对的大小就够了的话，离散化就有了用武之地

举个例子：数列

3 8 7 5 2000000000000000

我们发现有几个数之间差距很大，但是我们用不到数值的大小，只要求相对大小，那怎么办呢？
观察下面的数列：

1 4 3 2 5

真巧，这个数列和上面的数列各个数字之间的相对大小是一样的并且，让很大的数据缩小了，这样离散化了之后就可以处理一些原本处理不了的问题

离散化比较OK的复杂度是O(NlogN)
STL大法好，代码见下：

    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=read(),b[i]=a[i];//读入数组a，b数组记录下，等会儿用（read是读入优化）
    sort(b+1,b+n+1);//排序b数组，避免a数组顺序打乱
    int len=unique(b+1,b+n+1)-b-1;//unique:STL自带函数，去重并返回去重后数组的长度+1（所以这里后面要-1）
    //（原理上来讲不是这样，但这样理解方便）
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int pos=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;//STL自带函数，返回b(有序数组)中第一个大于等于a[i]的位置
        a[i]=pos;//改变这个值为找到的位置
    } 

介绍一种神奇的算法：

权值线段树

顾名思义，该线段树中存储的并不是普通线段树记录的线段端点，而是 类似一个桶一样的东西

最简单的例子：求逆序对
该题可以用树状数组做，可以用归并排序思想做，可以用splay做......
不过，既然可以用树状数组用，也可以用线段树做

【思路】

先建一棵很大的线段树，然后用权值为下标建树，每一次读到一个数，就找比这个数大的个数，找到了之后加到ans里，接着更新线段树（这个数出现的次数+1）
PS：这题要加离散化，否则……你懂的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define lson i << 1
#define rson i << 1 | 1
#define M 40005
using namespace std;

inline int read(){
    char chr=getchar();
    int f=1,ans=0;
    while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr))  {ans=ans*10;ans+=chr-'0';chr=getchar();}
    return ans*f;

}
int n;
struct Node{
    int l,r,v;
}t[M<<2];
int a[M],b[M];
void kai(){
    freopen("test1.txt","r",stdin);
}

void push_up(int i){
    t[i].v=t[lson].v+t[rson].v;
}//向上更新

void build(int i,int l,int r){//建树
    t[i].l=l;   t[i].r=r;   t[i].v=0;
    if(l==r){
        return;
    }
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    build(i<<1,l,mid);
    build(i<<1|1,mid+1,r);
}

void updata(int i,int x){
    if(t[i].l==t[i].r){
        ++t[i].v;//这个数字出现的次数+1
        return;
    }
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    if(x<=mid) updata(lson,x);
    else       updata(rson,x);
    push_up(i);
}//更新节点

int query(int i,int l,int r){
    if(l<=t[i].l&&t[i].r<=r) return t[i].v;
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    int x=0;
    if(l<=mid) x+=query(lson,l,r);
    if(mid<r)  x+=query(rson,l,r);
    return x;
}//询问

int main(){
//  kai();
    n=read();
    int ans=0;
    build(1,1,M);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=read(),b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    int len=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int pos=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
        a[i]=pos;
    } //离散化
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=a[i];
        ans+=query(1,x+1,M);//找比这个数大的数的出现的总次数
        updata(1,x);//这个数出现次数+1
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

打完收工

hia~hia~hia~