2017-2018 ACM-ICPC Pacific Northwest Regional Contest (Div. 2) P-Fear Factoring 区间内数的所有因数的和

Posted 2020-12-30 llllrj

题意就是标题。

思路：

对于每个数 a 算出 1~a 的所有因数和sum(a)，输出sum(b)-sum(a-1)。

关键在于如何求出 sum。

首先发现因数∈ 1 ≤ i ≤ n ，每个因数在区间[1,n]内的出现次数(不考虑4=2*2这样因数重复出现，这种情况2只算出现一次)等于 n/i (向下取整)。

然后用 t = n/(n/i) 可以找到与因数i出现次数相同的最大因数(这里可能有点难理解，例如1~100区间内21作为因数出现的数字有 21 ，42 ，63 ，84；即四次。按计算机整数相除默认向下取整规则可以知道 t = 25，手算一下就出来了，25作为因子在区间内出现的数字有 25 ，50 ，75 ，100；也是四次，而且21~25 内的数组作为因子时在区间内出现的次数都为4次)

所以得到求和公式 sum += (t+i)(t+1-i)/2*(n/i);

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 typedef unsigned long long LL;
 6 LL a,b;
 7 LL func(LL n){
 8     if ( n == 0) return 0;
 9     LL sum = 0;
10     LL t = 0;
11     for (LL i=1; i<=n; i=t+1) {//已经计算了出现次数相同的因子i~t，故i=t+1，这样也能满足不超时
12          t = n/(n/i);
13          //printf("#%lld %lld
",i,t);
14          sum += (i+t)*(t+1-i)/2*(n/i);
15          //printf("&%lld
",n/i);
16     }
17     return sum;
18 }
19 int main(){
20     while (scanf("%lld%lld",&a,&b)==2) {
21         printf("%lld
",func (b)-func(a-1));
22     }
23     return 0;
24 }

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