素数筛法知识点整理

Posted 2020-12-30 acgoto

素数的定义：除了1和它本身之外，不能被其他整数整除。

一、判定一个正整数n是否为素数的方法：

①定义法：枚举2~n-1这n-2个正整数，如果它们均不能整除n，则可断定n为素数。代码如下：时间复杂度为O(n)，如果n为10^9，就不能用此方法。

1 bool is_prime(int n){
2     if(n==1)return false;
3     for(int i=2;i<n;++i)
4         if(n%i==0)return false;
5     return true;
6 }

②从2开始枚举到不大于sqrt(n)的所有正整数，如果它们均不能整除n，则可断定n为素数。为什么只需枚举到sqrt(n)就可以了呢？理由：假设n存在大于或等于sqrt(n)的因子y，则z=n/y必同时为n的因子，且其值小于或等于sqrt(n)（如果z>sqrt(n)，那么z*y>n与n=z*y相矛盾）。所以，若n存在相异于1和它本身的因子y>sqrt(n)，则必存在小于或等于sqrt(n)的因子，因此，我们只需测试因子到sqrt(n)即可。时间复杂度为O(sqrt(n))。

1 bool is_prime(int n){
2     if(n==1)return false;
3     for(int i=2;i*i<=n;++i)
4         if(n%i==0)return false;
5     return true;
6 }

二、给定一个正整数n(n<=10^6)，问n以内有多少个素数？如果采用方法2，时间复杂度最坏能达到1e9!!!超时是毫无疑问的，那么是否有比较快速的判断方法呢？于是两种经典筛法就呼啦呼啦地闪亮登场了。

①埃氏筛法：要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于sqrt(n)的所有素数的倍数剔除，剩下的都是素数。时间复杂度只有O(nloglogn)，非常接近O（n）。方法：最小的素数是2，先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......最后剩下的一定是素数，根据定义，下面给出埃氏筛的两种写法：一种是直接判定素数，另一种是边判定素数边保存素数，代码如下：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=1000;
 4 bool isp[maxn];int cnt=0,prime[maxn];
 5 void sieve1(){//1、直接判定素数
 6     memset(isp,true,sizeof(isp));
 7     isp[0]=isp[1]=false;
 8     for(int i=2;i*i<maxn;++i){
 9         if(isp[i]){
10             for(int j=i*i;j<maxn;j+=i)
11                 isp[j]=false;
12         }
13     }
14 }
15 void sieve2(){//2、边判定素数边保存素数
16     memset(isp,true,sizeof(isp));
17     memset(prime,0,sizeof(prime));
18     isp[0]=isp[1]=false;
19     for(int i=2;i<maxn;++i){
20         if(isp[i]){//如果isp[i]==true，则i一定是素数
21             prime[cnt++]=i;//保存素数
22             for(int j=i*i;j<maxn;j+=i)
23                 isp[j]=false;
24         }
25     }
26 }
27 int main(){
28     sieve1();//测试代码
29     for(int i=1;i<maxn;++i)
30         if(isp[i])cout<<i<<endl;
31     /*sieve2();
32     for(int i=0;i<cnt;++i)
33         cout<<prime[i]<<endl;*/
34     return 0;
35 }

疑难点一：根据埃氏筛的定义，枚举不大于sqrt(n)的所有素数，将其倍数剔除掉，最终留下的都是素数，为什么只需枚举到sqrt(n)呢？其实原因就是