裴蜀定理巧用最短路

Posted 2020-12-30 lyfoi

定义

(x,y) 的不定方程 (ax + by = c) 有整数解的充要条件是 (gcd(a, b)mid c) 。

即为如果(a)与(b)互质，那么一定存在两个整数(x)与(y)，使得(ax+by=1)。

详见Wikiwand-斐蜀定理

例题

Codeforces Round #290 (Div. 2) D. Fox And Jumping

翻译

给出(n)张卡片，分别有(l_i)和(c_i)。在一条无限长的纸带上，你可以选择花(c_i)的钱来购买卡片(i)，从此以后可以向左或向右跳(l_i)个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出(-1)。

思路

• 正解：斐蜀定理+动态规划

• 最优解：斐蜀定理+(Dijkstra)

分析该问题，先考虑两个数的情况，发现想要跳到每一个格子上，必须使得这些数通过数次相加或相加得出的绝对值为(1)，进而想到了斐蜀定理。

如果(a)与(b)互质，那么一定存在两个整数(x)与(y)，使得(ax+by=1)。

由此得出了若选择的卡牌的数通过数次相加或相减得出的绝对值为(1)，那么这些数一定互质，此时可以考虑动态规划求解。

不过可以转移思想，因为这些数互质，即为(0)号节点开始，每走一步求(Gcd)(节点号,下一个节点)，同时记录代价，就成为了从(0)通过不断(Gcd)最后变为(1)的最小代价。

由于：互质即为最大公因数为(1)，(Gcd(0,x)=x)这两个定理，可以证明该算法的正确。选择优先队列优化(Dijkstra)求解。

不过还有个问题，即为需要记录是否已经买过一个卡片，开数组标记由于数据范围达到(10^9)会超出内存限制，可以想到使用unordered_map（比普通的map更快地访问各个元素，迭代效率较低）来标记。

另外，__gcd是(OI)禁用的函数，仅供平时练习所用。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,t[300],k[300];
unordered_map<int,int>mp;
priority_queue<pair<int,int>>q;
void add(int g,int k)
{
    if(mp.find(g)==mp.end()||mp[g]>k)
    {
        mp[g]=k;
        q.push({-k,g});
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&t[i]);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&k[i]);
    add(0,1);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().second;
        int w=-q.top().first;
        q.pop();
        if(mp[u]!=w)  continue;
        if(u==1) return printf("%d
",w-1),0;
        for(int i=0;i<n;i++) add(__gcd(u,t[i]),k[i]+w);
    }
    puts("-1");
    return 0;
}