浅谈扩展欧几里得定理（附裴蜀定理）

Posted 2021-01-12 morning-glory

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅谈扩展欧几里得定理（附裴蜀定理）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

关于扩展欧几里得定理

众所周知，扩展欧几里得定理是用来求形如 $技术分享图片$ (a,b,c皆为整数)这样的方程的一组解[注，仅是一组解]的定理

它的原理比较复杂，本人学了挺久才懂了一点，这里就不谈了，扩欧的核心是它的思想，它的思想可以用来解决许多题

该方程有解的条件：

要使 $技术分享图片$ (a，b，c皆为整数) 有解，我们设k=gcd(a,b)，可以将原方程写成 $技术分享图片$ 的形式

$技术分享图片$ a，b，b均为整数

$技术分享图片$ k|c 即 gcd(a,b)|c // k|c数学里为 c%k=0

由此可见，该方程有解的条件为c%gcd(a,b)=0

求解方法：

由于是求解 $技术分享图片$ 的一组解，在方程有解的条件下，我们可以考虑先求出 $技术分享图片$ 的一组解，

为什么这样考虑呢，这样子变化有什么好处呢？当我们将原方程转变为这样的方程之后，实际上我们求出的x与y并不是

原方程的解，我们可以理解为转变后的方程的解为x‘与y‘，实际上该 $技术分享图片$ 方程是将原方程除以

c/gcd(a,b)后所得到的，所以原方程的解为 $技术分享图片$ 那么我们先求出 $技术分享图片$

原方程的解便只需乘以c/gcd(a,b)就能得到了

另外说明，c=gcd(a,b)是原方程有解的最小情况，利用这个性质，裴蜀定理也就不难写出来了

那么该如何求解 $技术分享图片$ 呢？

众所周知(又是这个词，词穷) gcd的写法return b==0?a:gcd(b,a%b);(为了节约篇幅强行压缩)关键的一步就是

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)了，这个的成立性就不证明了，我们求解 $技术分享图片$ 是需要利用到gcd的这个特性的

我们可以得到这样一个方程 $技术分享图片$ （这里的%显示不出来就用mod代替了），然后我们将gcd(b,a%b)中的b和a代入原方程

那么可以得到gcd(b,a%b) = bx+(a%b)y,注意，此时的x与y也不是原方程的解，也可以理解为x‘,y‘这样子我们就可以得到

$技术分享图片$ （这里是将gcd(a,b)的a，b反代入原方程），又因为电脑中的取模运算a%b是等价于a-a/b*b的

所以我们又可以将最后一个方程变成bx‘+(a-a/b*b)y‘，然后与第一个方程放在一起便有

$技术分享图片$ ,然后拆项移项，变成 $技术分享图片$ ，最后便能得出这样的转移方程

$技术分享图片$ ，有了这样的转移方程，那么我们可以递归地写出代码了，递归结束条件就是b==0时，此时的方程

ax+by=gcd(a,b)，b==0，所以就是ax=a,那么x=1，y=0

//已知a,b  求解  ax+by=1
void ex_gcd (int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}
/*
 * 若求解  ax+by=c
 * △条件(是否有解) ： 满足gcd(a,b)|c [c%gcd(a,b)==0]
 * 可以先求  ax+by=gcd(a,b)
 * 再将求得的x与y分别乘以c/gcd(a,b)
 */

那么扩展欧几里得便讲完了，下面说一下上文提到的裴蜀定理

原题链接

裴蜀定理

题目描述

给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

输入输出格式

输入格式：

第一行给出数字N,代表有N个数下面一行给出N个数

输出格式：

S的最小值

我们可以将A1X1+A2X2+...+AnXn看成许多个ax+by，那么我们要求的便是c的最小值，上文说过，c的最小值就是gcd(a,b)，所以我们只需求出所有的gcd便可

附上代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int ans,n,t;
int gcd (int a,int b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main ()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d",&ans);//ans初始赋值为第一个数
	while (--n){
		scanf("%d",&t);
		t=abs(t);
		ans=abs(gcd(ans,t));
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}