fibonacci数列的性质和实现方法

Posted 2020-12-28 alingmaomao

fibonacci数列的性质和实现方法

1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))

证明：可以通过反证法先证fibonacci数列的任意相邻两项一定互素，然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m))，递归可

求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))，最后k=l，不然继续递归。K是通过展转相减法求出，易证k=gcd(n,m)，所以gcd(fib(n),fib(m))

=fib(gcd(n,m))。

 

2.如果fib(k)能被x整除，则fib(k*i)都可以被x整除。

3.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

4.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

5.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

6.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

7.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

8.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

9.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

10.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

11.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

12.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]c

3.菲波那契前n项和就是菲波那契第n+2项-1

 

 

1. go语言之斐波那契数列的几种实现方法

   斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

   在学习go语言基础的过程中，学习了斐波那契数列的几种实现方法，总的可以分为递归和非递归实现。本文按照用到的方法侧重点不同，现细分如下：

   • 递归实现
   • 递归实现改进
   • 数组递归实现
   • 闭包实现

递归实现

 1 package main
 2 
 3 import "fmt"
 4 
 5 const LIM = 40
 6 
 7 func main() {
 8     //result := 0
 9     //var array []int
10     var array [LIM]int
11     for i := 0; i < LIM; i++ {
12         array[i] = fibonacci(i)
13         //result = fibonacci(i)
14         //array = append(array, result)
15         //fmt.Printf("fibonacci(%d) is: %d
", i, result)
16     }
17     fmt.Println(array)
18 }
19 
20 func fibonacci(n int) (res int) {
21     if n <= 1 {
22         res = 1
23     } else {
24         res = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
25     }
26     return
27 }

 

递归实现改进

 

package main

import "fmt"

const LIM = 40

var fibs [LIM]uint64

func main() {
    //var result uint64 = 0
    var array [LIM]uint64
    for i := 0; i < LIM; i++ {
        array[i] = fibonacci(i)
        //result = fibonacci(i)
        //array = append(array, result)
        //fmt.Printf("fibonacci(%d) is: %d
", i, result)
    }
    fmt.Println(array)
}

func fibonacci(n int) (res uint64) {
    // memoization: check if fibonacci(n) is already known in array:
    if fibs[n] != 0 {
        res = fibs[n]
        return
    }
    if n <= 1 {
        res = 1
    } else {
        res = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
    }
    fibs[n] = res
    return
}
1

数组递归实现

package main

import "fmt"

const LIM = 40

func main() {
    fmt.Println(fibarray(LIM))
}

func fibarray(term int) []int {
    farr := make([]int, term)
    farr[0], farr[1] = 1, 1

    for i:= 2; i < term; i++ {
        farr[i] = farr[i-1] + farr[i-2]
    }
    return farr
}

闭包实现
package main

import "fmt"

const LIM = 40

func main() {
    f := fibonacci() //返回一个闭包函数
    var array [LIM]int
    for i := 0; i < LIM; i++ {
        array[i] = f()
    }
    fmt.Println(array)
}

func fibonacci() func() int {
    back1, back2 := 0, 1
    return func() int {
        // 重新赋值
        back1, back2 = back2, (back1 + back2)
        return back1
    }
}

该文章节选自其它博客

https://blog.csdn.net/dangchuanbiao/article/details/71185009

https://blog.csdn.net/qq_15571091/article/details/48528041

巨佬的博客

https://www.cnblogs.com/Milkor/p/4734763.html