置换群和Burnside引理，Polya定理

Posted 2020-12-27 miracevin

定义简化版：

置换，就是一个1~n的排列，是一个1~n排列对1~n的映射

置换群，所有的置换的集合。

经常会遇到求本质不同的构造，如旋转不同构，翻转交换不同构等。

不动点：一个置换中，置换后和置换前没有区别的排列

Burnside引理：本质不同的方案数=每个置换下不动点的个数÷置换总数（一个平均值）

Polya定理：一个置换下不动点的个数=颜色^环个数。（辅助Burnside引理，防止枚举不动点复杂度过高）

 

这篇文章写得很详细了（具体的在此不说了）：

Burnside引理与Polya定理

 

**特殊模型的环个数：

①旋转同构，N个点，每个点移动k步（0<=k<=n-1），环个数gcd(k,N)

证明：

1.对于k是N的约数，显然成立。一个环用N/k个，可以分成N/(N/k)=k个环。gcd(k,N)=k也成立。

2.当k不是N的约数，最小的环长度是：lcm(N,k),环用的端点是：lcm/k个，可以凑成N/(lcm/k)=N*k/lcm=gcd(N,k)个。

证毕。

②对称同构：

奇数个点对称：1+（n-1）/2个（轴一定过一个顶点）

偶数：按边对称：n/2个

按点对称：2+（n-2）/2个。

（证明显然，画图自行理解）

**

 

例题：poj2154 Color

题解：

思路：列出式子，转化每个因子作为gcd的贡献。然后处理成欧拉函数即可。

而且，1/n的分母，因为化简的时候消掉了，不用求逆元之类的。（况且p不是质数，要EXLUCAS。。。）

（类似longge的问题（虽然这篇博客没用欧拉函数）：[SDOi2012]longge的问题）