burnside引理和polya定理的记录

Posted 2022-02-17 吃花椒的妙酱

正n边形的旋转群的轮换指标

每个x表示是n/d个长度为d的环
$$P_G=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\phi (d)x_d^{n/d}$$
正n边形的二面体群的轮换指标

解释：共2n种置换，前半个式子和前面一样n个旋转的置换，对于奇环，有n种轴对称置换，产生一个长度为1的环和(n-1)/2个长度为2的环，即nx1x2…，化简后系数为1/2
$$P_G=\frac{1}{2n}\sum _{d|n}\phi (d)x_d^{n/d}+\frac{1}{2}{x}_1{x}_2^{\frac{n-1}{2}},n为奇数$$

解释：对于偶环，有n/2 * 2种轴对称置换，n/2种的对称轴置换是经过两点的，这样的轴对称置换会产生两个长度为的环和(n-2)/2个长度为2的环，n/2种对称轴置换是不经过两点的，这样的置换会产生n/2个长度为2的环，除以2(n/2)是因为过两点的对称轴本质一样，会多算一遍。原本系数是n/2… + n/2…，化简后为1/4
PS:网上关于二面体群的博客好少，理解后记录一下qwq
$$P_G=\frac{1}{2n}\sum _{d|n}\phi (d)x_d^{n/d}+\frac{1}{4}(x_2^{\frac{n}{2}}+x_1^2{x}_2^{\frac{n-2}{2}}),n为偶数$$