奇怪的骰子游戏

Posted 2020-12-27 liqiuhao

近日复习概率论（mathematics for computer science）的时候读到了一个有趣的例子，在这里分享一下。都是一些非常简单好玩的概率知识，学数学的同学请绕道...勿喷。 ;)

---

这是一个平淡的星期天，你像往常一样在酒吧喝酒，顺便思考一下MMU分页机制的原理。

过了一会儿，一个彪形大汉坐到了你的旁边，点了几杯伏特加开始狂饮。正当你想到内核如何通过虚拟地址更改页目录和页表的时候，他开口了。

“小兄弟，玩骰子嘛？”

“不好意思，我不赌博。”

“嘿，我这可不是赌博，而且规则简单的很，要不要听听？”

你觉着反正也是闲着，就看看他葫芦里卖着什么药，于是说到：

“行，你说说是怎么个玩法？”

壮汉便从口袋里攥出三枚骰子，扔在桌子上：

“我这有三枚骰子，每一个都有6面，和普通骰子不一样的地方在于，每个相对面的点数是一样的，也就是说每个骰子只有三种点数，例如A骰子投出2、6、7的概率都是1/3. 咱们两每人下注100块，选一个骰子扔一下，谁点数小就输给对方，如何？”

发现骰子有些奇怪，你陷入了思索，B骰子有一个最大的点数9，而A骰子似乎有6和7这两个都不小的点数...

壮汉看出了你的怀疑，又说“小兄弟，这样，你先选骰子，我后选，这样如何？”

听起来不错。

”那我选B骰子“。随后壮汉拿起了A骰子。接下来就让我们分析一下你输掉的概率。

A vs B

首先我们找出所有的样本空间：

然后我们找到壮汉能够获胜的样本，一共有5个：

由于骰子上每一个点数出现的概率都是1/3，而且两个骰子是互相独立的，所以每一个样本出现的概率都是1/9. 如下图所示，你输掉的概率是5/9 :(

在你输掉100元后，壮汉将其归咎于你的坏运气，并劝你再来一盘。不过你现在只剩下打车的25块了，为了“帮助”你回本，壮汉提出，接下来这一盘你不用下注，如果你赢了就把刚刚赢的100块还给你，但要是输掉的话就欠他100块。考虑到刚刚已经吃了一个教训，这次应该能赢，你答应了他。

这次你选择A骰子，壮汉随后选择了C骰子。我们再来分析一下你输掉的概率。

C vs A

和上一盘一样，我们很容易就算出——你还是有5/9的概率输掉 :(

现在，你欠壮汉100块了，当你正考虑待会儿怎么跑掉时，壮汉”慈爱“答应再给你一次免下注的机会。

emmmm... A可以赢B，C可以赢A，那选C肯定没错了。于是你继续与壮汉展开斗争，这次，壮汉选择了B。

B vs C

和前两盘一样，我们可以很容易计算出结果——你还是5/9的概率输掉，又输了！

这怎么可能！A扔出的点数会比B更大，而C扔出的点数会比A更大，那C扔出的点数会什么会比B小呢？？

这就是直觉带来的错误，在生活中很多东西满足传递性，很可惜，这里的概率不是。也就是说，只要你先选骰子，壮汉总是更可能赢！

于是，这一天你穿着内裤走回了家。

---

又是一个平淡的星期天，你穿着新买的衣服在酒吧休息，心想着下次再碰见壮汉一定要后扔骰子，把输掉的钱赢回来。果然，没过多久，壮汉出现了。

他听了你的要求，竟然欣然同意，但是建议这次玩大的——选完骰子后，每个人扔两次，把两次的点数之和作为输赢依据，每次下注200元。

emmmm... 扔两次，你想既然每一次扔骰子都更可能比壮汉大，扔两次更应该是这样了，于是便同意了。壮汉选择了B骰子，你知道A骰子比B骰子更可能扔出高点数，于是便选择的A骰子。

真的是这样吗？

Wrong！

Rolling Twice

和前面的算法相同，由于每个人要扔两次骰子，总的样本数就是(3*3)*(3*3) = 91种，如下图所示：

可以看到，扔两次A骰子可能的样本为：

而扔两次B骰子可能的样本为：

所以A战胜B的总样本数为1+3+3+3+3+6+6+6+6 = 37个，而B战胜A的总样本数为42个（剩下的为平局）。即扔两次B更有可能获胜，和扔一次的情况矛盾！

看来，直觉又一次欺骗了我们，每一次扔出的点数都更可能高，但是两次扔的和却更可能低。事实上，在我们扔一个骰子比大小的时候，获胜的概率排序为 A > B > C > A, 而扔两个骰子的时候概率是反过来的，即A < B < C < A.

人们总是说“抢占先机”，但又说“后发优势”。从上面的例子也可以看出，先行动不一定就能占据优势，而后发也不一定就是好事，这正是统计学上的诠释。

---

总之，在数据的概率上，不要相信生活经验/直觉，而是应该从数学的角度分析判断。另外，书上在讲条件概率的时候也提到了一个好玩的辛普森悖论, 感兴趣可看看。