强连通分量

Posted 2020-12-26 opbnbjs

强连通分量

相关概念

强连通：在有向图G中，如果两个顶点u，v间存在一条u到v的路径且也存在 一条v到u的路径，则称这两个顶点u，v是强连通的。

强连通图：如果有向图G的任意两个顶点都强连通，则称G是一个强连通图。

强连通分量：有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。(极大强连通子图:G是一个极大强连通子图，当且仅当G是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图G’，使得G是G’的真子集。)

强连通分量题目的求解

kosaraju算法

基于两次DFS的有向图强联通子图算法。

1.对原有向图G进行DFS，记录结点访问完的顺序d[i]，d[i]表示第i个访问完 的结点是d[i];

2.选择具有最晚访问完的顶点，对反向图GT进行DFS，删除能够遍历到的 顶点，这些顶点构成一个强联通分量;

3.如果还有顶点没有删除，继续第2步，否则算法结束。

代码实现

void dfsOne(int x) //对原图G搜索
{
    vst[x]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(! vst[i] && map[x][i]) dfsOne(i)//此处map是用的邻接矩阵存边，当然链式前向星也可以，而且效率更高
    d[++t]=x;//d数组见算法介绍
}
void dfsTwo(int x) //对逆图GT搜索
{
    vst[x]=t;//vst记录到没到过
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(! vst[i] && map[i][x]) dfsTwo(i)
}
void Kosaraju()
{
    int i,t=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(! Vst[i]) dfsOne(i);
    memset(vst,0,sizeof(vst));
    t=0;
    for(i=n;i>=1;i--)
        if(! vst[d[i]]){
            t++;
            dfsTwo(d[i]);
        }
}

推荐一道题，是一道裸的kosaraju：迷宫城堡

思路：其实这题就是在问整个图是不是一个强连通图。

tarjan（太监）？

Tarjan算法是基于有向图深度优先搜索的算法。每个强连通分量为搜索树中 的一颗子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的结点加入一个栈，回溯时可以判 断栈顶到栈中的结点是否构成一个强连通分量。

定义:
DFN[u]为结点u的搜索次序编号(时间戳) Low[u]为u或u的子树能够回溯到的最早的栈中结点的DFN值。

这有一个tarjan模版

说一下缩点，意思就是把一个强连通分量就记为一个点，这样下来图的点数可以减少。

结尾

强连通分量经常用来处理点与点的关系，在提高组及以上会出现。可以拿来处理一些团体与团体之间的题。

下面给出一些例题