单调队列

Posted 2020-12-25 mr94kevin

单调队列是指在任意时刻，队列中的元素都是单调的（递增或递减），同时他又具有双端队列的部分性质（允许从队尾删除元素）。

在这里，有一道经典的例题：滑动窗口求最值

题目描述：在一个长度为n的整数序列上有一个长度为k的滑动窗口，求滑动窗口内的最（大/小）值。

解释：就是在一个序列上对于每个长度为k的区间，求区间内的最值。

分析：一种朴素的做法是，枚举区间起点，再自此向后比较k个元素，找出最值，这样的复杂度是O(nk)的。

还有一种不错的做法是利用单调队列。不妨假设我们已经得到了一个单调队列，他维护了当前的滑动窗口，显然，

队首元素就是窗口内的最值。现在再来考虑如何用单调队列维护滑动窗口（以最大值为例，队列则为单调递减的，队首元素为窗口内的最大值）：

我们遍历序列的每个元素，当队列为空时，肯定要加入队列；队列不为空，就要加入队列，从队尾弹出较小的元素，再加入，保证队列单调；

但滑动窗口是有长度限制的，怎么考虑呢？我们可以保存每个元素的序号，当发现队首元素的序号与当前考虑元素相比，已经出了滑动窗口，就弹出队首元素。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<deque>
 4 using namespace std;
 5 struct num { //定义结构体存储元素的序号及值
 6     int id,value;
 7     num() {}
 8     num(int i,int v):id(i),value(v) {}
 9 };
10 int n,k,a[10005],first=1; //first用于限制输出格式
11 deque<num> dq;
12 int main() {
13     cin>>n>>k;
14     for(int i=1;i<=n;++i) { //边读边处理
15         scanf("%d",&a[i]); //数据规模略大，建议不要用cin
16         //也可以用读入优化，输出那里同理
17         if(dq.empty()) dq.push_back(num(i,a[i]));
18         //若队列为空，则直接进入队列
19         else {
20             num f=dq.front(); //取队首元素
21             if(i>f.id+k-1) dq.pop_front();
22             //若队首元素的序号距当前元素太远（超出窗口长度）则弹出队首元素
23             num b=dq.back(); //取队尾元素
24             while(b.value<a[i]) { //若队尾元素小于当前元素则弹出队尾
25                 dq.pop_back();
26                 if(dq.empty()) break; //注意！队列为空则不能继续弹出
27                 b=dq.back();
28             }
29             dq.push_back(num(i,a[i])); //将当前元素放入队列中合适位置
30         }
31         if(i>=k) { //当考虑的元素个数达到窗口长度时，开始输出
32             if(first) first=0; //控制输出格式
33             else printf("
");
34             num f=dq.front();
35             printf("第%d个滑动窗口的最大值为%d",i-k+1,f.value);
36         } //事实上，对于长度为n的序列，长度为k的窗口，共有n-k+1个不同的窗口
37     }
38     return 0;
39 }

code