数据结构 二叉树的基本概念

Posted 2020-12-24 wbyixx

 

二叉树的定义

一棵二叉树是结点的一个有限集合，

该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别被称为左子树和右子树的，互不相交的二叉树组成。

二叉树的特点是每个结点最多有两个子女，分别称为左子女和右子女。

就是说，在二叉树中不存在度大于2的结点，并且二叉树的子树有左右之分，

其子树的次序不能颠倒，二叉树是有序树。

因此，二叉树有五种不同的形态：空树，只有根结点，只有左子树，只有右子树，左子树右子树都有

 

满二叉树：深度为k的满二叉树是有2^(k-1)个结点的二叉树。

在满二叉树中，每一层的结点都达到了最大个数。

除最底层结点的度为0外，其他各层结点的度都为2.

 

完全二叉树：每一个结点都与高度为k的满二叉树的编号为1-n的结点一一对应，则称为完全二叉树。

特点是：第一层到第k-1层是满二叉树，最后一层或者是满的，或者从右向左连续缺失若干结点。

 

二叉树的性质：

1.在二叉树的第i （i>=1） 层最多有2^(i-1)个结点

2.深度为k的二叉树最少有k个结点，最多有2^(k-1)个结点

3.对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为n0, 度为2的非叶结点的个数为n2，则n0=n2+1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度为 ceil(log_{2(n+1))  （有的定义为floor(log2(n) +1)）}

5.如果将一棵具有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右编号。顺序存入一个一维数组。

则有以下关系：

　　若i==1，则结点i为根，无父结点；若i大于1，则结点i的父节点为floor(i/2)

　　若2*i<=n，则结点i的左子女为结点2*i

　　若2*i+1<=n，则结点i的右子女为结点2*i+1

　　若结点的编号i为奇数，且i不等于1，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为i-1

　　若结点的编号i为偶数，且i不等于1，它处于左兄弟位置，则它的有兄弟为i+1

　　结点i所处的层次，floor(log₂i) + 1

 

二叉树的抽象数据类型