172. 阶乘后的零

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了172. 阶乘后的零相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

172. 阶乘后的零

难度简单

给定一个整数 n,返回 n! 结果尾数中零的数量。

示例 1:

输入: 3
输出: 0
解释: 3! = 6, 尾数中没有零。

示例 2:

输入: 5
输出: 1
解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.

说明: 你算法的时间复杂度应为 O(log n) 

题目描述(简单难度)


给定一个数,求出一个数的阶乘末尾有多少个 0。

解法一
之前小红书面试的时候碰到的一道题,没想到又是 leetcode 的原题。这种没有通用解法的题,完全依靠于对题目的分析理解了,自己当时也是在面试官的提示下慢慢出来的,要是想不到题目的点,还是比较难做的。

首先肯定不能依赖于把阶乘算出来再去判断有多少个零了,因为阶乘很容易就溢出了,所以先一步一步理一下思路吧。

首先末尾有多少个 0 ,只需要给当前数乘以一个 10 就可以加一个 0。

再具体对于 5!,也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120,我们发现结果会有一个 0,原因就是 2 和 5 相乘构成了一个 10。而对于 10 的话,其实也只有 2 * 5 可以构成,所以我们只需要找有多少对 2/5。

我们把每个乘数再稍微分解下,看一个例子。

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1

对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 ...

对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5...

含有 2 的因子每两个出现一次,含有 5 的因子每 5 个出现一次,所有 2 出现的个数远远多于 5,换言之找到一个 5,一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5。

直接的,我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。


public int trailingZeroes(int n) {
int count = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int N = i;
while (N > 0) {
if (N % 5 == 0) {
count++;
N /= 5;
} else {
break;
}
}
}
return count;

}


但发生了超时,我们继续分析。

对于一个数的阶乘,就如之前分析的,5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次,也就是下边的样子。

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * ... * (2 * 5) * ... * (3 * 5) *... * n

因为每隔 5 个数出现一个 5,所以计算出现了多少个 5,我们只需要用 n/5 就可以算出来。

但还没有结束,继续分析。

... * (1 * 5) * ... * (1 * 5 * 5) * ... * (2 * 5 * 5) * ... * (3 * 5 * 5) * ... * n

每隔 25 个数字,出现的是两个 5,所以除了每隔 5 个数算作一个 5,每隔 25 个数,还需要多算一个 5。

也就是我们需要再加上 n / 25 个 5。

同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字,会出现 3 个 5,所以我们还需要再加上 n / 125 。

综上,规律就是每隔 5 个数,出现一个 5,每隔 25 个数,出现 2 个 5,每隔 125 个数,出现 3 个 5... 以此类推。

最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 ...

写程序的话,如果直接按照上边的式子计算,分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候,我们先把 n 更新,n = n / 5,然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。


public int trailingZeroes(int n) {
int count = 0;
while (n > 0) {
count += n / 5;
n = n / 5;
}
return count;
}

更偏向于数学题,主要是对问题的归纳总结。

 

以上是关于172. 阶乘后的零的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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leetCode第172题——阶乘后的零

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