[Study] 算法时间复杂度计算方法复习

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[Study] 算法时间复杂度计算方法复习相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

之前想开坑坚持实践陈皓的ARTS挑战, 奈何发现自己的学习水平和输出水平做不到写一篇ARTS文章. 不过我很喜欢ARTS的写作方向: Algorithm(算法), Review(评论), Tip(实践技巧), Share/Study(分享/学习); 这四方面相辅相成, 能够通过写作很好的锻炼各项能力. 所以, 就拆分一下吧, 1次写不了4个, 那1次写1个还是可以的.

定义

算法的时间复杂度使用渐进记号((Theta), (O), (Omega), (o), (omega))来描述, 它们的定义如下:

[渐进紧确界: Theta (g(n))={f(n): 存在常量c_1, c_2和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=c_1g(n)<=f(n)<=c_2g(n)} ]

[渐进上界: O(g(n))={f(n): 存在常量c和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=cg(n)<=f(n)} ]

[渐进下界: Omega (g(n))={f(n): 存在常量c和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=f(n)<=cg(n)} ]

[非渐进紧确上界: o(g(n))={f(n): 对任意常量c>0, 存在常量n_0>0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=f(n)<cg(n)} ]

[非渐进紧确下界: omega(g(n))={f(n): 对任意常量c>0, 存在常量n_0>0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=cg(n)<f(n)} ]

这些渐进记号中平常常用的是前三种((Theta), (O), (Omega)), 因为日常使用中我们最关心最坏情况下时间复杂度, 所以渐进上界(O)也是最为常用的记号. 对于这三种记号, 结合算法导论上的配图很好理解.

  1. (O)描述了最坏情况下的时间复杂度量级;
  2. (Omega)描述了最好情况下的时间复杂度量级;
  3. (Theta)是由(O)(Omega)组成的一个区间;

技术图片

将渐进记号和实数之间的大小比较作类比, 也更好理解:

[f(n) = O(n) 类似于 a <= b ]

[f(n) = Omega (n) 类似于 a >= b ]

[f(n) = Theta (n) 类似于 a = b ]

[f(n) = o(n) 类似于 a < b ]

[f(n) = omega (n) 类似于 a > b ]

运算

渐进函数具有传递性, 自反性, 对称性和转置对称性. 举例来说:

[传递性: f(n) = O(g(n)) 且 g(n) = O(h(n)) /Rightarrow f(n)=O(h(n)) ]

[自反性: f(n)=O(f(n)) ]

[转置对称性: f(n) = O(g(n)) 当且仅当 g(n) = Omega (f(n)) ]

利用这些性质可以通过推导的方式得出算法的时间复杂度.

  • 以快速排序为例
# 提供一个最好理解的递归实现
# https://www.jianshu.com/p/2b2f1f79984e
def quick_sort(array):
    if len(array) < 2:
        return array
    else:
        pivot = array[0]
        less_than_pivot = [x for x in array if x <= pivot]
        more_than_pivot = [x for x in array if x > pivot]
        return quick_sort(less_than_pivot) + [pivot] + quick_sort(more_than_pivot)

时间复杂度推导公式如下:

[egin{equation} egin{split} T(n) &= O(n) + 2 * T(n/2) &= O(n) + 2 * O(n/2) + 4 * T(n/4) &= sum_{i=1}^{lg(n)} O(n) &= O(nlg(n)) end{split} end{equation} ]



以上是关于[Study] 算法时间复杂度计算方法复习的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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