概率统计基本概念总结

Posted 2020-10-06

一、概率论基本概念
样本空间、随机事件
频率和概率
概率的相关运算和性质
等可能概型:古典概型
条件概率
全概率公式：你用条件概念算事件概率
贝叶斯公式：条件概率用于反推计算条件概率
事件的相互独立性
二、随机变量极其分布
随机变量:每个样本点映射一个数字来表征
基本离散型随便基变量分布:0-1分布、伯努利实验二项分布、泊松分布
分布函数：随机变量概率在小于某随机变量的区间的概率和
概率密度函数:连续性的随即变量的概率密度分布函数,分布函数是密度函数的定积分。
概率密度的几种分布：均匀分布、指数分布、正态分布、
随机变量之间的映射函数，及对映射前后概率密度函数的推导
三、多维随机变量极其分布
随机变量由二维向量表征，称为:二维随机变量
二维随机变量的分布函数称为联合分布函数
联合分布函数式联合分布密度的定重积分
二维随机中某一维变量的分布函数称为二维联合分布函数的边缘分布
相对于边缘分布函数还有边缘概率密度
边缘分布主要用于用联合分布求边缘分布
二维变量概率和其中一维的的条件分布律
某一维条件确定下的条件概率密度分布
联合分布的随机变量相互独立
二维随机变量联合分布的几种:
1、z=x+y分布:卷积公式
2、z=x/y、z=xy的分布
3、M=max{x,y}及N={x,y}的分布
四、随机变量的数字特征
离散随机变量*概率的的全分布求和值收敛，则称这个值为数学期望。又称均值
方差：其实是随机变量减去均值的差的平方
均方差:方差开平方
协方差：二维随机变量X和Y之间的相关系数
K阶矩、K阶中心矩、混合矩、混合中心矩，协方差矩阵
五、大数定律以及中心极限定理
辛钦大数定理:具有均值为u的n个Xi分布求平均值趋近于u
独立同分布的中心极限定理:独立同分布的随机变量之和推导为正态分布
六、样本和抽样分布
数理统计是根据实验数据来研究随机现象
样本、样本空间、样本值
频率直方图：样本空间分段后的分布图
箱线图：反应了样本点的区间段分布
样本平均值、样本方差、样本标准差、样本K阶矩、样本K阶中心距
经验分布函数
正态总体的几种常用统计量分布:X平方分布、t分布、F分布
正态总体的样本均值和样本方差的分布
七、参数估计
点估计：利用样本来估计总体未知分布的参数
两种常用估计法：
1、矩估计法:大数定理的反推应用
2、最大似然估计法
截尾样本的最大似然估计
估计量的评选标准：无偏性、有效性、相合性
区间估计:
置信区间:给定样本和概率值要求边界，反求样本空间的限制区间---大多用于正态分布
正态总体均值和方差的区间估计:由随机变量的置信区间进一步求出均值和方差的置信区间。
0-1分布的区间估计
单侧置信区间
八、假设检验
假设检验：在分布函数位置或只知其形式，但不知参数的情况下，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设
差异显著性水平、校验统计量、原假设、备择假设、显著性检验、双边备择假设、双边假设检验、单边检验
单总体均值u的检验
两个正态总体均值差的检验
基于成对数据的检验
正态总体方差的假设检验:单总体情况、两总体情况
置信区间和假设检验之间的关系
样本容量的选取
分布拟合检验:单x平方分布检验；分布族x平方分布检验；偏度、峰度检验
秩和检验
假设检验的临界值P值检验法
九、方差分析和回归分析
单因素实验的方差分析：鉴别各个因素对实验结果的影响
双因素实验的方差分析，两个因素有相关性
一元线性回归，回归分析是研究相关关系的数学工具，利用一个变量的值去估计另一个变量的值。
点的分布满足一元线性函数称为一元线性回归模型,对一元函数的参数值做估计，估计求出来的方程叫经验回归方程
十、Bootstrap方法
十一、数理统计中使用Excel软件
箱线图、假设检验、方差分析、一元线性回归、Bootstrap方法
十二、随机过程及其统计描述
随机过程：研究对象时随时间演变的随机现象，多维变量已经不够，需要无限多随机变量描述
十三、马尔可夫链
马尔可夫性：t0之前的状态信息不会对t状态有任何影响，叫马尔科夫性或无后效性
n步转移概率矩阵
十四、平稳随机过程
平稳随机过程：过程的统计特性不随时间的推移而变化
以傅里叶变换确定平稳过程的频率结构--功率谱密度