概率论与数理统计图示(第一章 概率论的基本概念)1.2概率
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概率论与数理统计图示(第一章 概率论的基本概念)
1.2概率
1、概念
概率:对随机时间发生可能性大小的客观度量
频率:频率≠概率,只能作为概率估计
古典概率:有限性、等可能性
几何概率:古典概率的推广,将“等可能性”推广至“均匀性”
2、概率公理化定义
1.非负性:0≤P(A)≤1
2.规范性:P(Ω)=1
3.可例(完全)可加性:事例互不相容——事件概率和=事件和概率
3、概率的性质
1) P(Φ)=0
2)有限可加性
3)单调性
4)P(A)=1-P(A)
5)一般减法公式
- P(A)=P(B)- P(AB)
6)AB不互不相容,一般加法公式
- P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
- 互不相容则合事件概率=事件概率做和
4、概率运算的总结
事件运算和概率加减对应
概率相乘/条件概率借与事件独立性相关,不归属于韦恩图能理解的概率运算,而属于条件概率乘法公式
5、条件概率 P(A|B)=P(AB)/P(B)
文字化表述:在事件B 发生的条件下,事件A发生的条件概率
P(A|B)与P(A)没有确定的大小关系
P(A|B)>P(A),B促进了A的发生
P(A|B)<P(A),B阻碍了A的发生
P(A|B)=P(A),B对A的发生没有影响
6、乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)
求积事件概率
7、样本空间相关公式
样本空间的划分
事件满足互不相容,且并集为整个样本空间,称事件B1,B2,……,Bn为样本空间S的一个有限划分
即交是Φ,并是S?概率大于0
应用全概率公示的重点是找到划分
图示:
P(B1)—P(A|B1)—>
P(B2)—P(A|B2)—>P(A)
P(Bn)—P(A|Bn)—>
全概率公式 P(A)=∑(k=1->n)P(Bk)P(A|Bk)
- 证明:
- A包含于S=∪(k=1->n)Bk
- A=A∩S=∪(k=1->n)(Bk×A)
- 加法公式P(A)=∑(k=1->n)P(Bk×A)
- 乘法公式P(A)=∑(k=1->n)P(Bk)P(A|Bk)
与乘法公式转化:P(AB)=P(A×1)=P(A)
应用于知因求果的预测,事前概率
贝叶斯公式
A:结果事件而不是结果事件的概率,Bi:所有相异原因(划分)
P(Bj|A):A已经发生条件下,Bj导致其发生的概率
P(ABj):由Bj导致A的发生的概率
P(A):A发生的概率/在B1-Bn情况下A发生的概率
1)应用于执果求因的推测,事后概率
先验概率:P(B1)
后验概率:P(B1|A)
全概率公式:先验概率P(Bi) *P(A|Bi)求和
贝叶斯公式:后验概率P(B1|A)
2)贝叶斯公式的理解
一般在通过全概率公式求出后的下一问,分母是作为已发生的作为条件,分子是全概率公式的一项,的条件概率。
仅用条件概率想也没问题。
例:同一题中
(1)全概率公式中的一项: P(B1)P(A|B1)为事前
(2)贝叶斯公式中的分子:P(B1|A)为事后
8、事件的独立性
1)定义公式:
(1)P(A|B)=P(A)
(2)P(AB)=P(A)P(B)根本
2)两两独立定义(三条件):
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
3)A,B,C相互独立定义(四条件):
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
4)必然事件和不可能事件与其他事件相互独立
A,B相互独立,则A非与B,A与B非,A非与B非相互独立
9、标准化解答
1)设事件而不是设概率
2)分别求概率
3)写公式名,列公式:乘法公式、全概率公式
答题时把符号和概率值匹配
设事件时说明是一个划分,是相互独立事件(相互独立事件)
10、典型题/技巧
1)若不说明第k次前的取球结果,根据计算,第k次=第1次概率
2)P(A非B非)=P(A并B 非)=1–P(A并B)=1–[P(A)+P(B)—P(AB)]
3)P(A非B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)
4)并事件概率表达式P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)
5)n个交事件概率表达式
独立条件下,P=1-P((A1∪A2∪……∪An)非)=1-P(A1非A2非……An非)=1-P(A1非)P(A2非)……P(An非)
6)交事件概率表达式
独立条件下,P(A1A2)=P(A1)P(A2)
7)重点例题
Ai样本空间划分-全概公式
Ci相互独立事件
8)P(相互独立的三划分事件只发生其中一件)=P(C1C2非C3非∪C1非C2C3非∪C1非C非2C3)因互不相容=P(C1C2非C3非)+P(C1非C2C3非)+P(C1非C2非C3)=P(C1)P(C2非)P(C3非)+P(C1非)P(C2)P(C3非)+P(C1非)P(C2)P(C3非)
11、错题
1)概率为1的事件未必是必然事件?
一个点随机落进一个圆内,这个点落不到圆心的概率为:0,但仍可能发生
2)PPT1_3,P18
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