算法背包问题

Posted kelellxin

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最近面试遇到一道题,一个人的精力是V,有N款游戏,每款游戏的所消耗的经历为对应的C[i],获得的满足感为M[i]。求玩哪几款游戏获得的满足感最高。当时一下没想出来,后来一想,这不就是背包问题吗? 所以这里整理一下背包问题的算法。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

问题描述:
一个背包的总容量为V,现在有N类物品,第i类物品的重量为weight[i],价值为value[i]
那么往该背包里装东西,怎样装才能使得最终包内物品的总价值最大。这里装物品主要由三种装法:
1、0-1背包:每类物品最多只能装一次
2、多重背包:每类物品都有个数限制,第i类物品最多可以装num[i]次
3、完全背包:每类物品可以无限次装进包内

 

一、0-1背包
思路分析:
0-1背包问题主要涉及到两个问题的求解

a)求解背包所含物品的最大值:

利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[N][V]来存储中间状态值,dp[i][j]表示前i件物品能装入容量为j的背包中的物品价值总和的最大值(注意是最大值),则我们最终只需求知dp[i=N][j=V]的值,即为题目所求。
现在考虑动态规划数组dp[i][j]的状态转移方程:
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变,则对第i件物品的装法讨论如下:
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行,即
1、若weight[i]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包,此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]<=j,则首先明确的是这件物品是可以装入容量为j的背包的,那么如果我们将该物品装入,则有
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大?其实很好判断,即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j],则肯是最大的;反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小,那么肯定就不需要装嘛)
故,状态转移方程如下:
dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
注意:这里的前i件物品是给定次序的

b)求出背包中装入物品的编号

这里我们采用逆推的思路来处理,如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j],则说明第i个物品肯定被放入了背包,此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。

/**
     * 0-1背包问题
     * @param V 背包容量
     * @param N 物品种类
     * @param weight 物品重量
     * @param value 物品价值
     * @return
     */
    public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){

        //初始化动态规划数组
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        //为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0,从1开始计算
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            for(int j=1;j<V+1;j++){
                //如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
                //由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
                if(weight[i-1] > j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
            }
        }
        //则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
        int maxValue = dp[N][V];
        //逆推找出装入背包的所有商品的编号
        int j=V;
        String numStr="";
        for(int i=N;i>0;i--){
            //若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
            if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
                numStr = i+" "+numStr;
                j=j-weight[i-1];
            }
            if(j==0)
                break;
        }
        return numStr;  
    }

0-1背包的优化解法:

/**
     * 0-1背包的优化解法
     * 思路:
     * 只用一个一维数组记录状态,dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
     * 用逆序来实现
     */
    public static int ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
        //动态规划
        int[] dp = new int[V+1];
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            //逆序实现
            for(int j=V;j>=weight[i-1];j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
            }
        }
        return dp[V];       
    }

例子:假设现有容量10kg的背包,另外有3个物品,分别为a1,a2,a3。物品a1重量为3kg,价值为4;物品a2重量为4kg,价值为5;物品a3重量为5kg,价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大?

public class BackPack {
    public static void main(String[] args) {
        int m = 10;
        int n = 3;
        int w[] = {3, 4, 5};
        int p[] = {4, 5, 6};
        int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            for (int j = 1; j <=m; j++) {
                System.out.print(c[i][j]+"	");
                if(j==m){
                    System.out.println();
                }
            }
        }
        //printPack(c, w, m, n);

    }

 /**
     * @param m 表示背包的最大容量
     * @param n 表示商品个数
     * @param w 表示商品重量数组
     * @param p 表示商品价值数组
     */
    public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
        //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
        int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i++)
            c[i][0] = 0;
        for (int j = 0; j < m + 1; j++)
            c[0][j] = 0;

        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
                //当物品为i件重量为j时,如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时,c[i][j]为下列两种情况之一:
                //(1)物品i不放入背包中,所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
                //(2)物品i放入背包中,则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
                if (w[i - 1] <= j) {
                    if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))
                        c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
                    else
                        c[i][j] = c[i - 1][j];
                } else
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
            }
        }
        return c;
    }
//输出结果
   0    4    4    4    4    4    4    4    4    
   0    4    5    5    5    9    9    9    9    
   0    4    5    6    6    9    10    11    11  

过程:

技术图片

 

 

二、多重背包

/**
     * 第三类背包:多重背包
     * 
     * @param args
     */
    public static int manyPack(int V,int N,int[] weight,int[] value,int[] num){
        //初始化动态规划数组
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        //为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0,从1开始计算
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            for(int j=1;j<V+1;j++){
                //如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
                //由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
                if(weight[i-1] > j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else{
                    //考虑物品的件数限制
                    int maxV = Math.min(num[i-1],j/weight[i-1]);
                    for(int k=0;k<maxV+1;k++){
                        dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*weight[i-1]]+k*value[i-1]);
                    }
                }
            }
        }
        /*//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
        int maxValue = dp[N][V];
        int j=V;
        String numStr="";
        for(int i=N;i>0;i--){
            //若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
            while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
                numStr = i+" "+numStr;
                j=j-weight[i-1];
            }
            if(j==0)
                break;
        }*/
        return dp[N][V];
    }

 

三、完全背包

/**
     * 第二类背包:完全背包
     * 思路分析:
     * 01背包问题是在前一个子问题(i-1种物品)的基础上来解决当前问题(i种物品),
     * 向i-1种物品时的背包添加第i种物品;而完全背包问题是在解决当前问题(i种物品)
     * 向i种物品时的背包添加第i种物品。
     * 推公式计算时,f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])},
     * 注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i,
     * 因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
     * @param V
     * @param N
     * @param weight
     * @param value
     * @return
     */
    public static String completePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
        //初始化动态规划数组
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        //为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0,从1开始计算
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            for(int j=1;j<V+1;j++){
                //如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
                //由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
                if(weight[i-1] > j)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
            }
        }
        //则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
        int maxValue = dp[N][V];
        int j=V;
        String numStr="";
        for(int i=N;i>0;i--){
            //若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
            while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
                numStr = i+" "+numStr;
                j=j-weight[i-1];
            }
            if(j==0)
                break;
        }
        return numStr;
    }
    /**
     * 完全背包的第二种解法
     * 思路:
     * 只用一个一维数组记录状态,dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
     * 用顺序来实现
     */
    public static int completePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){

        //动态规划
        int[] dp = new int[V+1];
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            //顺序实现
            for(int j=weight[i-1];j<V+1;j++){
                dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
            }
        }
        return dp[V];
    }

转自https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801

       https://blog.csdn.net/u010947534/article/details/88963391


















以上是关于算法背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

算法分析之背包问题

数学建模MATLAB应用实战系列(136)-优化算法:0-1背包算法(附MATLAB代码)

算法算法 动态规划 背包问题

两个包的背包算法

背包问题基于matlab带权重的贪心萤火虫算法求解0-1背包问题含Matlab源码 045期

背包问题基于matlab带权重的贪心萤火虫算法求解0-1背包问题含Matlab源码 045期