数列题解，上古文章搬运

Posted 2020-12-19 caijilyc

为什么小编会想要写这篇题解呢，小编也不知道

** 网上题解平均行数不超过5行

呃，这题代码极短，6行即可（逃

OJ中此题地址

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,k,p;
ll ksm(ll x,ll k){ll tmp=1;while(k){if(k&1)tmp=tmp*x%p;x=x*x%p,k/=2;}return tmp;}
int main(){scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p),n%=p,m%=p,cout<<(ksm(m,k-1)*n%p-(((m+1)*m/2)%p*ksm(m,k-2)%p*(k-1)%p)%p+p)%p;}

但是如果思路被带偏了，就会像小编一样想了两个小时才理解
首先考虑“构造”出一个合法的 (a) 数组，用以记录每天股票的价格
那么根据题意 (a[i]-a[i-1]<=m) ，题目中又写到 (m*(k-1)< n) ，那么就算每一个 (a[i]) 都取到 (a[i]==a[i-1]+m) 也没问题
现在再构造一个差分数组 (b) 也就是定义 (b[i]=a[i]-a[i-1]) ，那么 (b[i]<=m) ，那么不考虑“最高价格不超过n” (ans=m^{k-1} * (a[1]的可能取值))
(m^{k-1}) 的意思就是，每个 (b[i]) 都可以从 1 到 (m) 随便取一个值，这就是个乘法原理，不解释下去了（不然反而看不懂）
那么我们来想想 (a[1]) 的取值
hin显然，

[a[1]=n-sum_{x=1}^{n}{b_x} ]

那么

[ans=m^{k-1}*(n-∑b_x)=n*m^{k-1}-∑∑b_x ]

为什么拆括号的时候会有这个奇怪问题呢，因为前面 (m^{k-1}) 是会影响 (b_x) 的
毕竟 (m^{k-1}) 是一个方案数，并没有考虑方案不同而导致的不同结果
而 (∑∑b_x) 可以转化为一个数在差分序列中出现的次数，用

[(k-1)*m^{k-2}*(m+1)*m/2 ]

计算
因为 (b_x) 的数值是在 1 到 (m) 中随便选取的，那么显然一个数可以在 ((k-1)) (每)个位置都出现一次，然后其他 ((k-2)) 个数值可以随便选取
然后等差数列求和就完了（我 * * 这里想了贼久，其实就是每个数字是有实际贡献的，hhhc）
接下来请大家多多提问，让这题思路更完整更清晰（方俊豪打爆电话警告）,补丁列表：

为什么要乘上等差序列求和呢:请注意-∑∑bx前面((k-1)*m^k-2)算出来的是每个数出现的次数,但是我们要算的是-∑∑bx所以根据“总价=数量*单价”,需要乘上∑i

另外安利一下一位大佬 (broxin) ，他的数列题解是百度上最详细的