N皇后的位运算解法

Posted 2020-12-19 wwcxblog

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了N皇后的位运算解法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、N皇后二进制Java代码：

public class Solution{
  int count = 0;
  public int totalNQueue(n) {
    if (n < 1) {
      return n;
    }
    //int类型只能表示最大值为32*32的棋盘，如果大于32，则要使用long型
    DFS(0,0,0,0,n);
    return count;
  }
  
  /**
   * 使用DFS方法递归获取每一行可以放置皇后的位置
   * row:表示棋盘的行，最大值为n
   * col:表示棋盘的列。col的int值的右n位用来表示棋盘的列，若某一位二进制数为0(不能放置皇后)，若为1(可以放置皇后)
   * pie：表示棋盘的左斜列。pie的int值的右n位用来表示棋盘的列，若某一位二进制数为0(不能放置皇后)，若为1(可以放置皇后)
   * na:表示棋盘的右斜列。na的int值的右n位用来表示棋盘的列，若某一位二进制数为0(不能放置皇后)，若为1(可以放置皇后)
   * n：表示棋盘是n*n的棋盘
   */
  private void DFS(int row, int col, int pie, int na, int n) {
    //当棋盘的行数累加到n时，就表示所有的行都已走完，获取到一种放置皇后的方法，count加1记录
    if(row >= n) 
      count++;
      return;
    }
    // 当前行可以放置皇后的位置（右n位有几个1存在，就表示有几个可以放置皇后的位置。0表示不能放置）
      // (col | pie | na):表示第一行所有的位置都为0（后续根据计算值获取）。使用 ~ 取反后，棋盘所有的位置都为1，
    // 棋盘第一行所有的位置都可以放置皇后
      // (1 >> n) - 1：将1的二进制左移n位，经过减1后，就将32-n位全部置为0，n为全部置为1；
      // 由于只需要后n位就可以表示棋盘的一行，所以进行 & 运算，就可以保证除了右n位，其余位都为0；
    int poss = (~(col | pie | na)) & ((1 << n) - 1);
      // poss不为0，表示poss中存在二进制位为1的，即存在可以放置皇后的位置
    while(poss != 0) {
      //获取二进制位中最右边的1，将皇后放在该位置
      int pos = poss & (-poss);
      //递归每一行，处理皇后第一行在pos位置时，从第2行到第n行的皇后的摆放位置
      //na要进行无符号的右移1位。是因为如果皇后在最高的32位时，会报错
      DFS(row + 1, col | pos, (pie | pos) << 1, (na | pos) >>> 1, n);
      //清除二进制位中最右边的1
      poss = poss & (poss - 1)
    }
  }
}

View Code

二、以四皇后（n=4）为例对代码进行分析(粗体四位表示棋盘当前行的状态)

　　　　(1 << n) - 1:

　　　　　　　　a 1: 00000000 00000000 00000000 00000001

b 1 << n: 00000000 00000000 00000000 00010000

　　　　 c b - a: 00000000 00000000 00000000 00001111

1、第一轮（0, 0, 0, 0, n）:排版像狗屎一样，编辑器真的不会用

1）第一行皇后放置位置计算

　　　　① d (col | pie | na): 00000000 00000000 00000000 00000000

　　　　② e ~d: 11111111 11111111 11111111 11111111

　　　　③ poss e & c: 00000000 00000000 00000000 00001111 ==> 15

　　　　④ -poss (对f取反，然后加1): 11111111 11111111 11111111 11110001

　　　　⑤pos poss & (-poss) : 00000000 00000000 00000000 00000001

　　　//第一行的皇后放在了（0,3）的位置，col(1,3)、(2,3)、(3,3)都不能再放，pie(1,2)、(2,1)、(3,0)都不能再放

1	1	1	皇后
1	1	0	0
1	0	1	0
0	1	1	0

　　　　⑥进入棋盘第二行递归参数：

　　　　　　row: row + 1 = 1 + 1 = 2;

　　　　　　col: 1

　　　　　　　　col: 　　00000000 00000000 00000000 00000000

　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　　|

　　　　　　　pos : 　　00000000 00000000 00000000 00000001

　　　　　　　结果：　　00000000 00000000 00000000 00000001

　　　　　　pie: 2

　　　　　　　　pie: 　　00000000 00000000 00000000 00000000

　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　　 |

　　　　　　　　pos : 　　00000000 00000000 00000000 00000001

　　　　　　　　左移1位　　　　　　　　 << 1

　　　　　　　　结果：　 00000000 00000000 00000000 00000010

　　　　　　na: 0

　　　　　　　　na: 　　　00000000 00000000 00000000 00000000

　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　　|

　　　　　　　　pos : 　　00000000 00000000 00000000 00000001

　　　　　　　　无符号右移1位 >>>1

　　　　　　　　结果： 00000000 00000000 00000000 00000000

2）第二行皇后位置计算，第一行皇后在（0,3）

　　　　　　　　　　c b - a: 00000000 00000000 00000000 00001111

　　　　　　① d (col | pie | na): 00000000 00000000 00000000 00000001

00000000 00000000 00000000 00000010

00000000 00000000 00000000 00000000

结果： 00000000 00000000 00000000 00000011

② e ~d: 11111111 11111111 11111111 11111100

③ poss e & c: 00000000 00000000 00000000 00001100 ==> 12

④ -poss (对f取反，然后加1): 11111111 11111111 11111111 11110100

⑤ pos poss & (-poss) : 00000000 00000000 00000000 00000100

//第一行的皇后放在了（0,3）的位置，col(0,1)、(3,1)都不能再放，pie(2,0)不能再放，na(2,2) 不能再放

1	0	1	皇后
1	皇后	0	0
0	0	0	0
0	0	1	0

⑥进入棋盘第三行递归参数：

row: row + 1 = 2 + 1 = 3;

col: 5

col: 00000000 00000000 00000000 00000001

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00000100

结果： 00000000 00000000 00000000 00000101

pie: 4

pie: 00000000 00000000 00000000 00000010

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00000100

左移1位 << 1

结果： 00000000 00000000 00000000 00001100

na: 2

na: 00000000 00000000 00000000 00000000

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00000100

无符号右移1位 >>>1

结果： 00000000 00000000 00000000 00000010

3）第三行皇后位置计算，第二层皇后在（1,1）

c b - a: 00000000 00000000 00000000 00001111

　　　　　　① d (col | pie | na): 00000000 00000000 00000000 00000101

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 00000000 00000000 00000000 00001100

00000000 00000000 00000000 00000010

结果： 00000000 00000000 00000000 00001111

② e ~d: 11111111 11111111 11111111 11110000

　　　　　　③ poss e & c: 00000000 00000000 00000000 00000000 ==> 0 poss=0 ，不进入此while循环

//走完第三层的逻辑，递归返回第二层，进行 poss = poss & (poss - 1) 操作，此时的poss为第二层的： 00000000 00000000 00000000 00001100 ==> 12

④ e poss - 1 : 00000000 00000000 00000000 00001011 ==> 12 - 1 = 11;

⑤ 更新后的poss poss & e : 00000000 00000000 00000000 00001000 ==> 8

//poss更新，由于poss=8，不等于0；所以进入下一个while循环

⑥ -poss (对f取反，然后加1): 11111111 11111111 11111111 11111000

⑦ pos poss & (-poss) : 00000000 00000000 00000000 00001000 ==> 8

//根据pos的后四位1000，皇后的位置如下图所示：

0	1	皇后
皇后	0	0
0	1	0
0	0	0

然后进入第二行皇后在（1,0）位置的下一层DFS梦境（第三行），去寻找第三行的皇后的可以放置的位置

⑧进入棋盘第三行递归参数，如下：

row: row + 1 = 2 + 1 = 3;

col: 9

col: 00000000 00000000 00000000 00000001

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00001000

结果： 00000000 00000000 00000000 00001001

pie: 20

pie: 00000000 00000000 00000000 00000010

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00001000

左移1位 << 1

结果： 00000000 00000000 00000000 00010100

na: 4

na: 00000000 00000000 00000000 00000000

或 |

pos : 00000000 00000000 00000000 00001000

无符号右移1位 >>>1

结果： 00000000 00000000 00000000 00000100

4）再次进行第三行皇后位置计算（第二层皇后在1,0位置）

c b - a: 00000000 00000000 00000000 00001111

　　　　① d (col | pie | na): 00000000 00000000 00000000 00001001

　　　　　　　　　　　　　　 00000000 00000000 00000000 00010100

　　　　　　　　　　　　　　 00000000 00000000 00000000 00000100

　　　　　　　　　　结果： 00000000 00000000 00000000 00011101

② e ~d: 11111111 11111111 11111111 11100010

　　　　③ poss e & c: 00000000 00000000 00000000 00000010 ==> 1

　　　　④ -poss (对f取反，然后加1): 11111111 11111111 11111111 11111110

　　　　⑤ pos poss & (-poss) : 00000000 00000000 00000000 00000010

　　　　//根据pos的后四位0010，皇后的位置如下图所示，col(0,2)不能在放置，同一列。pie(3,1)不能放置皇后：

0	0	皇后
皇后	0	0
0	皇后	0
0	0	0

　　　　　然后进入第三行皇后在（2,2）位置的下一层DFS梦境（第四行），去寻找第四行的皇后的可以放置的位置：

　　　　⑥进入棋盘第三行递归参数，如下：

　　　　　　　　row: row + 1 = 3 + 1 = 4;

　　　　　　　　col: 13

　　　　　　　　　　col: 　　00000000 00000000 00000000 00001001

　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　　 |

　　　　　　　　　　pos : 　 00000000 00000000 00000000 00000010

　　　　　　　　　　结果： 00000000 00000000 00000000 00001011

　　　　　　　　pie: 44

　　　　　　　　　　pie: 　　 00000000 00000000 00000000 00010100

　　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　|

　　　　　　　　　　pos : 00000000 00000000 00000000 00000010

　　　　　　　　　　左移1位 << 1

　　　　　　　　　　结果： 00000000 00000000 00000000 00101100

　　　　　　　　na: 3

　　　　　　　　　　na: 00000000 00000000 00000000 00000100

　　　　　　　　　　或 |

　　　　　　　　　　pos : 00000000 00000000 00000000 00000010

　　　　　　　　　　无符号右移1位 >>>1

　　　　　　　　结果： 00000000 00000000 00000000 00000011

4）进行第四行皇后位置计算（第三层皇后在2,2位置）

　　　　c b - a: 00000000 00000000 00000000 00001111

　　　　① d (col | pie | na): 00000000 00000000 00000000 00001011

00000000 00000000 00000000 00101100

00000000 00000000 00000000 00000011

结果： 00000000 00000000 00000000 00101111

② e ~d: 11111111 11111111 11111111 11010000

　　　　③ poss e & c: 00000000 00000000 00000000 00000000 ==> 0 不进入此while循环，第四层没有位置可以放置皇后

0	1	0	皇后
皇后	0	0	0
0	0	皇后	0
0	0	0	0

　　Ps:

　　　　1)由于第四行没有放置皇后的位置，返回到第三层梦境，更换第三层皇后的位置；

　　　　2)由于第三层没有其它可以放置皇后的位置（如上图所示），再返回第二层梦境，更换第二层皇后的位置；

　　　　3)由于第二层也没有其它可以放置皇后的位置（如上图所示），再返回第一层梦境，更换第一层梦境皇后的位置，按照上述逻辑进行分析，直到找到可以以放置每一层皇后位置的方法，然后返回；

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以上是关于N皇后的位运算解法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

hdu 2553 n皇后问题DFS递归解法

leetcode| 51. N皇后问题