题解 题解 P6078 [CEOI2004]糖果

Posted 2020-12-19 lhm-

对于至少 (a) 个，不超过 (b) 个的限制，可以先求出限制不超过 (b) 个的方案数，然后减去限制不超过 (a-1) 个的方案数，即为答案。

对第 (i) 个糖果罐列出其的生成函数，得：

[f_i(x)=sum_{j=0}^{m_i} x^j = frac{1-x^{m_i+1}}{1-x} ]

将每个糖果罐对应的生成函数都卷积起来，得到考虑所有糖果罐的生成函数：

[f(x)=prod_{i=1}^{n} f_i(x) = frac{prod_{i=1}^n 1-x^{m_i+1}}{(1-x)^n} = left(prod_{i=1}^n 1-x^{m_i+1} ight)sum_{j geqslant 0} inom{n+j-1}{j} x^j ]

(f(x)) 的 (0) 次到 (i) 次项的系数和即为限制不超过 (i) 个的方案数，第一项可以直接 (dfs)，后一项可以用 (inom{n}{m} = inom{n}{m-1} + inom{n-1}{m-1}) 来化简。组合数计算时可以扩大模数，然后将计算得出的答案再除回去即可。

总复杂度为 (O(2^n n))。

(code:)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 15
#define p 2004
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c==‘-‘)flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,a,b;
int m[maxn];
int C(int n,int m)
{
    if(n<m) return 0;
    ll x=1,y=1,mod=p;
    for(int i=1;i<=m;++i) x*=i,mod*=i;
    for(int i=n-m+1;i<=n;++i) y=y*i%mod;
    return y/x%mod;
}
int dfs(int x,int sum,int type,int tot)
{
    if(x>n) return C(n+tot-sum,n)*type;
    return (dfs(x+1,sum,type,tot)+dfs(x+1,sum+m[x]+1,-type,tot)+p)%p;
}
int main()
{
    read(n),read(a),read(b);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(m[i]);
    printf("%d",(dfs(1,0,1,b)-dfs(1,0,1,a-1)+p)%p);
    return 0;
}