离散化

Posted 2020-12-17 jasony

离散化

蒟蒻因为即将学习主席树，发现离散化这个东东不太会，所以写一篇博客记录一下。

概念

离散化，就是把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以提高算法的时空效率。（来自百度百科）

作用

? 很多算法的复杂度与数据中的最大值有关，比如树状数组和纯用数组实现的一对一标记。时常会遇到这种情况：数据的范围非常大或者其中含有负数，但数据本身的个数并不是很多（远小于数据范围）。在这种情况下，如果每个数据元素的具体值并不重要，重要的是他们之间的大小关系的话，我们可以先对这些数据进行离散化，使数据中的最大值尽可能小且保证所有数据都是正数。

? 例如，有这样一个长为5的序列：102131511，123，9813186，-611，55。其中有非常大的数以及负数，会给许多算法的实现带来困扰，我们可以把这个序列离散化，使它变成这样：5，3，4，1，2。各个元素间的大小关系没有任何改变，但数据的范围一下子就变得很舒服了。

代码实现

普通离散化

int n, a[maxn], t[maxn];
//这里以下标1为序列的起点，一般情况下从0开始也可以
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
    scanf("%d", &a[i]);
    t[i] = a[i];//t是一个临时数组，用来得到离散化的映射关系
}
//下面使用了STL中的sort(排序)，unique(去重)，lower_bound(查找)函数
sort(t + 1, t + n + 1);//排序
int m = unique(t + 1, t + 1 + n) - t - 1;//去重，并获得去重后的长度m
for(int i = 1;i <= n;i++)
    a[i] = lower_bound(t + 1, t + 1 + m, a[i]) - t;//通过二分查找，快速地把元素和映射对应起来

坐标离散化

//对x1和x2进行坐标离散化，并返回离散后的宽度。（对于y1,y2同理）
//将x1,x2更新为离散后的x1,x2.y不变在x方向上缩小。（处理y1,y2时同理）
int compress(int *x1,int *x2,int w)
{
    vector<int> xs;
    for(int i = 0;i < N;i++)//确定离散后x轴上哪些值还存在
    {
        for(int d = -1;d <= 1; d++)
        {
            int tx1 = x1[i] + d, tx2 = x2[i] + d;
            if(1 <= tx1 && tx1 <= w) xs.push_back(tx1);
            if(1 <= tx2 && tx2 <= W) xs.push_back(tx2);
        }
    }
    sort(xs.begin(),xs.end());
    xs.erase(unique(xs.begin(),xs.end()),xs.end());//去重
    for(int i = 0; i < N; i++)//转化为新的x1,x2;
    {
        x1[i] = find(xs.begin(),xs.end(),x1[i])-xs.begin();
        x2[i] = find(xs.begin(),xs.end(),x2[i])-xs.begin();
    }
    return xs.size();
}

放一个例题：P1955 [NOI2015]程序自动分析

思路和代码在这里