矩阵快速幂—— 构造矩阵

Posted 2020-12-17 asdfknjhu

借鉴视频：https://www.bilibili.com/video/BV1gx41127d7?p=2

借鉴博客：https://blog.csdn.net/wangjian8006/article/details/7868864

 

 

一，汇总

矩阵乘法可以用来求递推式

基本形式：由一个 基础矩阵(用  A 表示) 和 递推矩阵(用 B 表示)  组成 （名字自己取的 ，也不知道有没有专业名称）

基础矩阵：由条件充分的已知元素组成，如 f(n-1) , f(n-2) 等等

递推矩阵：一个固定矩阵，元素不包含变量，基础矩阵 乘以 递推矩阵 可以得到 下一个基础矩阵

下一个基础矩阵：与基础矩阵大小相同，包含 f(n) 和 基础矩阵的一部分元素，下一个矩阵 乘以 递推矩阵可以得到 下下一个基础矩阵

下一个基础矩阵：与基础矩阵大小相同，包含 f(n) 和 上一个矩阵的一部分元素

注意：通常，如果 基础矩阵 只有一行，递推矩阵 是为方阵，其行数 为 基础矩阵的列数

 

二，Fibonacci 

斐波那契数列递推关系为：F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥2

这里有两种矩阵递推式，一个是题目给出的，一个可以自己推导出来。

1，这个是题目给出的这个推导式，我不会推导

 .

 

2，这个自己推导的递推式和第一个很像，不过还是有着本质区别，估计可以由这个推导出题目的递推式

推导过程：
由：F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥2 可知，我们只需要两个元素，就有足够条件求下一个元素

所以：

基础矩阵由两个元素组成，f(1),f(0)

下一个矩阵也由两个元素组成：f(2),f(1)

由此，便可以求 递推矩阵：

 

If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .
Give you a0 ~a9，two integer k，m，outf(k)%m