浅谈单调队列

Posted 2020-12-17 bifanwen

CSDN同步

前置知识：

简单 ( ext{dp})，队列。

首先我们看一道题目：原题链接

简要题意：

给定一个长为 (n) 的数组，要求 不能选连续超过 (m) 个数，问选出数的最大值。

(n leq 10^5 , a_i leq 10^9).

注：本题将作为 作者讲解单调队列优化 ( ext{dp}) 的引子题。

(mathcal{O}(nm)) 的 ( ext{dp})

首先我们考虑用 (f_i) 来表示 ([1,i]) 的答案，但是你会发现一个问题：你不知道 (i) 选不选，就意味着你不知道 前面能选 (m) 个还是只能选 (m-1) 个（连续），无法进行操作。

于是我们用 (f_{i,0}) 表示 ([1,i]) 中 不选 (i) 的答案。

(f_{i,1}) 表示 ([1,i]) 中 选 (i) 的答案。

这样我们可以列出这样的状态转移方程：

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + sum_{j=x+1}^i a_j)\end{cases}]

只需要先算出 (f_{i,0})，再算 (f_{i,1})，可以保证无后效性。这样一个可实现的 ( ext{dp}).

可是这时间复杂度是 (mathcal{O}(nm^2)) 的，无法通过。

一个显然的优化，用 (s) 表示 (a) 的前缀和，这样就变成了：

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\end{cases}]

时间复杂度会是 (mathcal{O}(nm))，仍然无法通过。

那么如何优化这个 ( ext{dp}) 呢？

你考虑到 (f_{i,1}) 的决策实际上是连续的一段：([i-m , i-1]) 区间。

所以我们可以用 单调队列优化。

模板题：单调队列优化 ( ext{dp})

单调队列有啥用？

首先，我们知道，队列里可以有很多元素。

下面我们将用集合的形式来表示队列或数组，如 ({ 1,2,4}) 则表示队列中依次有元素 (1,2,4)，或者是一个长度为 (3) 的序列，其元素依次为 (1,2,4).

假设我们有一个队列 ({ a_1 , a_2 cdots a_n})，你会发现，如果你要从其中取出一个 最大值，此时你必须遍历队列（你需要用另一个数据结构存储 (a)，并将队列一个个弹出，然后再重新维护 (a)），需要 (mathcal{O}(n)).

那么这样一道题目就来了：

(n) 个数，给定 (m)，对每个 (1 leq i leq n)，求 (max_{j= max(1,i-m+1)}^{i} a_j).
数据范围：(n,m leq 2 imes 10^7)，(a) 给出随机生成器（略）。
时间限制：(500ms).

本质就是求连续 (m) 个数的最大值。

诚然你可以用 (f_i) 表示答案，然后 (mathcal{O}(nm)) 求出。

当然你也可以用高级数据结构（线段树等）来维护连续一段的最大值，这样是 (mathcal{O}(n log m)).

但是限于本题 (2 imes 10^7) 的数据，无法通过。

我们需要一个 (mathcal{O}(n)) 的算法。

这时，单调队列的应用就到了。

单调队列是啥？

首先我们要知道单调队列是什么。

对于一个队列 (q) 中的元素 ({ a_1 , a_2 cdots a_n})，如果在操作时能 时时保证 (a) 的有序性，则 (q) 为单调队列。

通常，我们有 priority_queue 来实现，需要单次 (log) 的复杂度。如果用堆也一样。

但是，现在，对于 连续一段数的极值，我们可以用特殊的方式实现。

单调队列的维护（引子）

我们用单调队列来维护 对当前位置有决策性作用的节点。

比方说一个数组 ({3 , 2 , 1})，对 (1) 有决策性作用的节点有 (3,2,1).

但是数组 ({1 , 2 , 3})，对 (3) 有决策性作用的节点就只有 (3).

• 如何理解？

对已经失去决策性作用的节点，出队；否则入队。

• 什么是失去决策性作用？

这样可以做到 (mathcal{O}(n)) 的维护。

• 这些都是啥？

单调队列的维护（正题）

下面我们用一个例子来解释。

对于 ({ 1,4,3,5,2}) 求解上述问题，(m=3)，如何快速得解呢？

起初单调队列为空。

然后，对于 (1) 号节点，显然决策只有一个：

所以 (f_1 = 1)，这是显然的。

此时 (a_2 = 4) 进来了，我们发现，对于 (i geq 2) 的节点 (a_2 > a_1)，所以称 (a_1) 失去了决策性作用。因为只要 (a_1) 会被取到，那么 (a_2) 也会被取到，而 (a_2 > a_1)，所以 (a_1) 已经失去了决策性。

那么我们把 ( ext{front} - a_1) 踢出。

(2-4) 表示 (a_2 = 4).

这时 (f_2 = 4)，显然。

下面 (a_3 = 3) 进队之后，(3) 有没有必要弹出呢？如果弹出，(3) 在队尾又如何弹出呢？

不需要。因为，此时尽管 (a_2 > a_3)，但对于 (i geq 3)，并不是当 (a_3) 能被取到时，(a_2) 就会被取到。因为 (a_5) 的决策会来自 (a_3) 而不是 (a_2)，所以不应弹出 (a_3)，也不应弹出 (a_2)，就把 (a_3 = 3) 插入在队尾。

然后你会发现 ( ext{front}) 永远维护最大值。因为如果队头不是最优的，显然 队头比其它任何节点下标小，所以队头还在只能说明它是最优的，否则它就会失去决策性。

这样，(f_3 = 4).

下面 (a_4 = 5)，显然 (4) 和 (3) 都可以卷铺盖走人了，因为 (5 > 4 > 3),社会的竞争如此激烈。

这样的话，(f_4 = 5)，没有问题。

然后 (a_5 = 3) 进来之后，一样的道理，同时保留 (5) 和 (3).

此时 (f_5 = 5).

所以对于数组 ({ 1,4,3,5,2})，对应的 (f) 为 ({ 1,4,4,5,5})，没有问题。

初学者大概都会问：

• queue 还是 priority_queue 呢？

诚然是 queue，因为 对决策性的操作 已经保证了单调性，如果用优先队列反而会多一个 (log) ！

例题和配套代码

实际上，上面的题目仅仅是 洛谷 ( ext{P1440}) 的一个改版，把最小值改成了最大值而已。

Link 代码

顺便说一句，这个题似乎 (mathcal{O}(n log m)) 的微妙卡常是可以通过的

回归正题

说了这么多，希望你也知道单调队列优化 ( ext{dp}) 大概是个啥了吧。

回归这题的转移方程式：

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\end{cases}]

而 (s_i) 是不变的，实际上可以变形为：

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = s_i + max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0}- s_x)\end{cases}]

(f{i,1}) 的决策是连续的一段，只需要用单调队列取出 (f_{x,0} -s_x) 最大的节点即可。

Link 代码

课后习题

洛谷 ( ext{P2032})