浅谈单调队列

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了浅谈单调队列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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前置知识:

简单 ( ext{dp}),队列。

首先我们看一道题目:原题链接

简要题意:

给定一个长为 (n) 的数组,要求 不能选连续超过 (m) 个数,问选出数的最大值。

(n leq 10^5 , a_i leq 10^9).

注:本题将作为 作者讲解单调队列优化 ( ext{dp}) 的引子题。

(mathcal{O}(nm))( ext{dp})

首先我们考虑用 (f_i) 来表示 ([1,i]) 的答案,但是你会发现一个问题:你不知道 (i) 选不选,就意味着你不知道 前面能选 (m) 个还是只能选 (m-1) 个(连续),无法进行操作。

于是我们用 (f_{i,0}) 表示 ([1,i])不选 (i) 的答案。

(f_{i,1}) 表示 ([1,i]) (i) 的答案。

这样我们可以列出这样的状态转移方程:

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + sum_{j=x+1}^i a_j)\end{cases}]

只需要先算出 (f_{i,0}),再算 (f_{i,1}),可以保证无后效性。这样一个可实现的 ( ext{dp}).

可是这时间复杂度是 (mathcal{O}(nm^2)) 的,无法通过。

一个显然的优化,用 (s) 表示 (a) 的前缀和,这样就变成了:

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\end{cases}]

时间复杂度会是 (mathcal{O}(nm)),仍然无法通过。

那么如何优化这个 ( ext{dp}) 呢?

你考虑到 (f_{i,1}) 的决策实际上是连续的一段:([i-m , i-1]) 区间。

所以我们可以用 单调队列优化

模板题:单调队列优化 ( ext{dp})

单调队列有啥用?

首先,我们知道,队列里可以有很多元素。

下面我们将用集合的形式来表示队列或数组,如 ({ 1,2,4}) 则表示队列中依次有元素 (1,2,4),或者是一个长度为 (3) 的序列,其元素依次为 (1,2,4).

假设我们有一个队列 ({ a_1 , a_2 cdots a_n}),你会发现,如果你要从其中取出一个 最大值,此时你必须遍历队列(你需要用另一个数据结构存储 (a),并将队列一个个弹出,然后再重新维护 (a)),需要 (mathcal{O}(n)).

那么这样一道题目就来了:

(n) 个数,给定 (m),对每个 (1 leq i leq n),求 (max_{j= max(1,i-m+1)}^{i} a_j).
数据范围:(n,m leq 2 imes 10^7)(a) 给出随机生成器(略)。
时间限制:(500ms).

本质就是求连续 (m) 个数的最大值。

诚然你可以用 (f_i) 表示答案,然后 (mathcal{O}(nm)) 求出。

当然你也可以用高级数据结构(线段树等)来维护连续一段的最大值,这样是 (mathcal{O}(n log m)).

但是限于本题 (2 imes 10^7) 的数据,无法通过。

我们需要一个 (mathcal{O}(n)) 的算法。

这时,单调队列的应用就到了。

单调队列是啥?

首先我们要知道单调队列是什么。

对于一个队列 (q) 中的元素 ({ a_1 , a_2 cdots a_n}),如果在操作时能 时时保证 (a) 的有序性,则 (q) 为单调队列。

通常,我们有 priority_queue 来实现,需要单次 (log) 的复杂度。如果用堆也一样。

但是,现在,对于 连续一段数的极值,我们可以用特殊的方式实现。

单调队列的维护(引子)

我们用单调队列来维护 对当前位置有决策性作用的节点

比方说一个数组 ({3 , 2 , 1}),对 (1) 有决策性作用的节点有 (3,2,1).

但是数组 ({1 , 2 , 3}),对 (3) 有决策性作用的节点就只有 (3).

  • 如何理解?

对已经失去决策性作用的节点,出队;否则入队。

  • 什么是失去决策性作用?

这样可以做到 (mathcal{O}(n)) 的维护。

  • 这些都是啥?

单调队列的维护(正题)

下面我们用一个例子来解释。

对于 ({ 1,4,3,5,2}) 求解上述问题,(m=3),如何快速得解呢?

起初单调队列为空。

技术图片

然后,对于 (1) 号节点,显然决策只有一个:

技术图片

所以 (f_1 = 1),这是显然的。

此时 (a_2 = 4) 进来了,我们发现,对于 (i geq 2) 的节点 (a_2 > a_1),所以称 (a_1) 失去了决策性作用。因为只要 (a_1) 会被取到,那么 (a_2) 也会被取到,而 (a_2 > a_1),所以 (a_1) 已经失去了决策性

那么我们把 ( ext{front} - a_1) 踢出。

技术图片

(2-4) 表示 (a_2 = 4).

这时 (f_2 = 4),显然。

下面 (a_3 = 3) 进队之后,(3) 有没有必要弹出呢?如果弹出,(3) 在队尾又如何弹出呢?

不需要。因为,此时尽管 (a_2 > a_3),但对于 (i geq 3),并不是当 (a_3) 能被取到时,(a_2) 就会被取到。因为 (a_5) 的决策会来自 (a_3) 而不是 (a_2),所以不应弹出 (a_3),也不应弹出 (a_2),就把 (a_3 = 3) 插入在队尾

技术图片

然后你会发现 ( ext{front}) 永远维护最大值。因为如果队头不是最优的,显然 队头比其它任何节点下标小,所以队头还在只能说明它是最优的,否则它就会失去决策性

这样,(f_3 = 4).

下面 (a_4 = 5),显然 (4)(3) 都可以卷铺盖走人了,因为 (5 > 4 > 3),社会的竞争如此激烈。

技术图片

这样的话,(f_4 = 5),没有问题。

然后 (a_5 = 3) 进来之后,一样的道理,同时保留 (5)(3).技术图片

此时 (f_5 = 5).

所以对于数组 ({ 1,4,3,5,2}),对应的 (f)({ 1,4,4,5,5}),没有问题。

初学者大概都会问:

  • queue 还是 priority_queue 呢?

诚然是 queue,因为 对决策性的操作 已经保证了单调性,如果用优先队列反而会多一个 (log)

例题和配套代码

实际上,上面的题目仅仅是 洛谷 ( ext{P1440}) 的一个改版,把最小值改成了最大值而已。

Link 代码

顺便说一句,这个题似乎 (mathcal{O}(n log m)) 的微妙卡常是可以通过的

回归正题

说了这么多,希望你也知道单调队列优化 ( ext{dp}) 大概是个啥了吧。

回归这题的转移方程式:

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0} + s_i - s_x)\end{cases}]

(s_i) 是不变的,实际上可以变形为:

[egin{cases} f_{i,0} = max(f_{i-1,0} , f_{i-1,1}) f_{i,1} = s_i + max_{x=i-m}^{i-1} (f_{x,0}- s_x)\end{cases}]

(f{i,1}) 的决策是连续的一段,只需要用单调队列取出 (f_{x,0} -s_x) 最大的节点即可。

Link 代码

课后习题

洛谷 ( ext{P2032})



以上是关于浅谈单调队列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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