「GCJ 2009 WF B」Min Perimeter

Posted 2020-12-15 -wallace-

Description

给定二维平面上的 (n) 个点，选出 3 个点构造一个三角形（可以退化，即面积为 0），使得三角形的周长最小。求这个最小值。

输出结果与标准答案的差值的绝对值不超过 (10^{-9}) 就算通过。

可以到 这里（Problem K） 提交。

Hint

• (1le nle 10^6)
• (0le ext{坐标大小} le 10^9)

Solution

考虑 平面分治。

我们先按 (x) 坐标排序，然后分为两半。然后三角形的所在位置有两种情况：

1. 三点同在左侧或右侧。这个可以递归处理。
2. 三角形跨越了中间线，这是我们需要考虑的问题。

递归处理完之后，我们得到了一个两侧的答案 ( ext{ans})。我们用它来缩小需要考虑的点的范围。

于是约束条件就比较显然了：

• 点与中间线的距离 (< frac{1}{2} ext{ans})
• 点与点之间的纵坐标之差的绝对值 (< frac{1}{2} ext{ans})

于是愉快地分治，而在范围内的点并不多，大概是常数个，理论复杂度 (O(nlog n))。

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;

struct Point {
	double x, y;
} p[N], rec[N];
int n;

inline bool cmpx(const Point& x, const Point& y) {
	return x.x != y.x ? x.x < y.x : x.y < y.y;
}
inline bool cmpy(const Point& x, const Point& y) {
	return x.y != y.y ? x.y < y.y : x.x < y.x;
}
inline double dist(const Point& x, const Point& y) {
	return sqrt((x.x - y.x) * (x.x - y.x) + (x.y - y.y) * (x.y - y.y));
}
inline double perimeter(const Point& x, const Point& y, const Point& z) {
	return dist(x, y) + dist(y, z) + dist(z, x);
}

double solve(int l, int r) {
	if (l == r) return 1e18;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	double ans = 1e18, x = p[mid].x;
	ans = min(solve(l, mid), ans);
	ans = min(solve(mid + 1, r), ans);
	inplace_merge(p + l, p + mid + 1, p + r + 1, cmpy);
	/*s,t 指当前的考虑范围，动态维护一下就行*/
	for (register int s = 1, t = 0, i = l; i <= r; i++) {
		while (s <= t && p[i].y - rec[s].y > ans) ++s;
		if (fabs(p[i].x - x) < ans / 2) {
			for (register int j = s; j <= t; j++)
				for  (register int k = j + 1; k <= t; k++)
					ans = min(ans, perimeter(p[i], rec[j], rec[k]));
			rec[++t] = p[i];
		}
	}
	return ans;
}

signed main() {
	scanf("%d", &n);
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
	
	sort(p + 1, p + 1 + n, cmpx);
	double ans = solve(1, n);
	printf("%.10f
", ans);
	return 0;
}