WF 18 A 想法

Posted 2020-10-31 Pat

考虑在时刻 $t$ 从站点 $u$ 出发的公交车，将这些车的集合记做 $B(u,t)$，$B(u,t)$ 是个随机变量。
令 $\mathrm{Pr}_{B(u,t)} = \max\{ \mathrm{Pr}(b)\colon b\in B(u,t) \}$，其中 $\mathrm{Pr}(b)$ 表示乘上公交车 $b$ 之后（最优策略下）及时到达终点的概率。

令 $\mathrm{Pr}(u,t)$ 表示采用「恰好在 $t$ 时刻从站点 $u$ 乘车出发」这一策略，及时到达终点的概率。

令 $\mathrm{Pr}^*(u,t)$ 表示采用「在 $t$ 时刻及以后从站点 $u$ 乘车出发」这一策略，及时到达终点的概率。

显然有
\[
\mathrm{Pr}(b) = \mathrm{Pr}^*(\mathrm{stop}_b, t_b+1)
\]
其中 $\mathrm{stop}_b$ 表示公交车 $b$ 的终点站，$t_b$ 表示公交车 $b$ 的到站时刻。

设从 $u$ 点出发的公交车的发车时刻从早到晚依次为 $t_1, t_2, \dots, t_k$ 。
将 $t_i$ 时刻计划从 $u$ 出发的公交车按发车概率从大到小依次记做 $b_{i,1}, b_{i,2}, \dots$，对应的发车概率记做 $P_{i,1}, P_{i,2}, \dots$

则
$$
\mathrm{Pr}^*(u,t_i) = P_{i,1}\mathrm{Pr}(b_{i,1}) + (1-P_{i,1}) P_{i,2}\mathrm{Pr}(b_{i,2}) + \dots + \prod\limits_{1\le k < j}(1-P_{i,k}) P_{i,j}\mathrm{Pr}(b_{i,j}) \\+ \prod\limits_{1\le k\le j}(1-P_{i,k})\mathrm{Pr}^*(u, t_{i+1})
$$
其中 $j = \max\{k\colon \mathrm{Pr}(b_{i,k}) \ge \mathrm{Pr}^*(u, t_{i+1})\}$ 。

这道题其实是个 DP 。

关于 DP 的一点体会：

$$ \mathsf{state}\ 1 \xrightarrow{\mathsf{action}\ A} \mathsf{state}\ 2 $$

在很多问题中（不限于 DP 问题），找出状态空间非常重要。找到状态空间之后，自然就能意识到有哪些 $\mathsf{action}$ 。