时间复杂度

Posted 2020-12-14 wy919

实现算法程序的执行时间可以反应出算法的效率，即算法的优劣。

 

一、“好”算法的标准

对于一个问题的算法来说，之所以称之为算法，首先它必须能够解决这个问题（称为准确性）。其次，通过这个算法编写的程序要求在任何情况下不能崩溃（称为健壮性）。

如果准确性和健壮性都满足，接下来，就要考虑最重要的一点：通过算法编写的程序，运行的效率怎么样。

运行效率体现在两方面：

• 算法的运行时间。（称为“时间复杂度”）
• 运行算法所需的内存空间大小。（称为“空间复杂度”）

好算法的标准就是：在符合算法本身的要求的基础上，使用算法编写的程序运行的时间短，运行过程中占用的内存空间少，就可以称这个算法是“好算法”。

调查表明，人们对于软件或者 APP 的运行效率有极高的要求，例如对于网页打开的忍耐极限是 6 秒甚至更短，如果你设计的网页打开的时间超过 6 秒，多数人会在 4 秒甚至 3 秒的时候毫不犹豫地关掉而去浏览其他网页。在这个大背景下，一个好的“算法”更注重的是时间复杂度，而空间复杂度只要在一个合理的范围内就可以。

 

 

 

二、时间复杂度的计算

计算一个算法的时间复杂度，不可能把所有的算法都编写出实际的程序出来让计算机跑，这样会做很多无用功，效率太低。实际采用的方法是估算算法的时间复杂度。

之前讲过，程序由三种结构构成：顺序结构、分支结构和循环结构。顺序结构和分支结构中的每段代码只运行一次；循环结构中的代码的运行时间要看循环的次数。

由于是估算算法的时间复杂度，相比而言，循环结构对算法的执行时间影响更大。

所以，

算法的时间复杂度，主要看算法中使用到的循环结构中代码循环的次数（称为“频度”）。次数越少，算法的时间复杂度越低。

例如：（C语言代码）

a) ++x; s=0;

b) for (int i=1; i<=n; i++) { ++x; s+=x; }

c) for (int i=1; i<=n; i++) { for (int j=1; i<=n; j++) { ++x; s+=x; } }

上边这个例子中，a 代码的运行了 1 次，b 代码的运行了 n 次，c 代码运行了 n*n 次。

三、时间复杂度的表示

算法的时间复杂度的表示方式为：

O(频度)

这种表示方式称为大“O”记法。

注意，是大写的字母O，不是数字0。

对于上边的例子而言，a 的时间复杂度为O(1)，b 的时间复杂度为O(n)，c 的时间复杂度为为O(n^2)。

如果a、b、c组成一段程序，那么算法的时间复杂度为O(n^2+n+1)。但这么表示是不对的，还需要对n^2+n+1进行简化。

简化的过程总结为3步：

• 去掉运行时间中的所有加法常数。（例如 n^2+n+1，直接变为 n^2+n）
• 只保留最高项。（n^2+n 变成 n^2）
• 如果最高项存在但是系数不是1，去掉系数。（n^2 系数为 1）

所以，最终a、b和c合并而成的代码的时间复杂度为O(n^2)。

 

四、常用的时间复杂度的排序

列举了几种常见的算法时间复杂度的比较（又小到大）：

O(1)常数阶 < O(logn)对数阶 < O(n)线性阶 < O(n^2)平方阶 < O(n^3)(立方阶) < O(2^n) (指数阶)

五、拿时间换空间，用空间换时间

算法的时间复杂度和空间复杂度是可以相互转化的。

谷歌浏览器相比于其他的浏览器，运行速度要快。是因为它占用了更多的内存空间，以空间换取了时间。

算法中，例如判断某个年份是否为闰年时，如果想以时间换取空间，算法思路就是：当给定一个年份时，判断该年份是否能被4或者400整除，如果可以，就是闰年。

如果想以空间换时间的话，判断闰年的思路就是：把所有的年份先判断出来，存储在数组中（年份和数组下标对应），如果是闰年，数组值是1，否则是0；当需要判断某年是否为闰年时，直接看对应的数组值是1还是0，不用计算就可以马上知道。

六、最坏时间复杂度

分析算法时，存在几种可能的考虑：

• 算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
• 算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
• 算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

比如：如果要排序一个数组，然后这个数组是已经排序好的数组，那么对这个数组进行排序，速度会非常快。这属于最好情况。

我们主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。

 

常用时间复杂度示例

def hello():
    print(‘hello‘)

这个函数执行了 1 代码。 渐进复杂度：O(1)

def hello1():
    print(‘hello‘)
    print(‘hello‘)
    print(‘hello‘)

这个函数执行的代码次数是 3。复杂度是： O(1)

def hello2():
    for _ in range(20):
        print(‘hello‘)

这段代码我们就说，这段代码执行了20次语句。

def hello3():
    for _ in range(20):
        print(‘hello‘)
        print(‘hello‘)
        print(‘hello‘)

这段代码花费的时间是：60。复杂度是： O(1)

def hello4(n):
    for _ in range(n):
        print(‘hello‘)
        print(‘hello‘)
        print(‘hello‘)

这段代码花费的时间是：3n。复杂度是： O(n)

def hello5(n):
    for _ in range(n):
        print(‘hello‘)   # 被执行 n 次
        print(‘hello‘)  # 被执行 n 次
        for _ in range(n):
            print(‘hello‘)  # 被执行 n * n 次（n的平方）
            print(‘hello‘)  # 被执行 n * n 次（n的平方）

这段代码花费的时间是：n + n + n^2 + n^2 = 2n + 2n^2 = 2(n^2+n) 。复杂度是：O(n^2)

总结

代码花费的时间主要就是通过代码被执行的次数来判断，有一些复杂的代码是需要很强的数学功底才能算出执行的次数，对于此我们知道常见的即可。