AC 自动机 - 算法与应用小结
Posted mollnn
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了AC 自动机 - 算法与应用小结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
本文对 AC 自动机的算法以及基础应用略作总结。
定义
AC 自动机在 Trie 上构造失配指针
状态 (u) 的失配指针 (fail) 指向状态 (v)，即 (v) 是 (u) 在字典树所有状态集合中的最长后缀
转移边 (trans) 指向在当前对应串后续上一个字符能到达的状态
注意 (trans) 不仅仅是 Trie? 中的部分
KMP 的 next 数组对应 AC 自动机在单串时的特例
构造
设当前结点为 (p)，父节点为 (f)，且 (f) 通过字符 c 的转移指向 (p)
即 (trie[f][c]=p)
递推 fail[]
现在所有深度更小的结点的失配指针已经求出
若 (trie[fail[f]][c]) 存在，则令 (fail[p]=trie[fail[f]][c])
否则，从 (f) 不断沿着失配指针向上跳，如果能找到一个点 (t) 使得 (trie[t][c]) 存在则令 (fail[p]) 等于 (trie[t][c])，否则等于 (root)
当然，由于深度更小结点的失配指针已经求出，我们可以直接令 (fail[p]=trie[fail[f]][c]) 即可
转移边的补充
通常我们会补充另一类转移边，将字典树中不存在的转移链接到了失配指针的对应状态
设 (S+c=S‘)，若 (S‘) 不存在，我们让 (trans[S][c] o trans[fail[S]][c])
这样一来，当失配发生时，我们不需要沿着 (fail) 链狂跳，只需要接着走原本不存在的 (trans) 就能穿越到正确的位置了
应用
基础模式匹配
P3796 【模板】AC自动机（加强版）
给定一堆模式串和一个文本串，问模式串们在文本串中各出现了多少次
设当前点为 (p)，每新进来一个文本串字符就沿着 (trans) 走，并沿着 (fail) 链往根走一趟，沿途所有结束点都 (+1) 即可
可以扩展到每个串的所有前缀出现多少次，基本没有区别
虽然可以通过本题，但这个方法在效率上有不足，下文中会给出改进
P3808 【模板】AC自动机（简单版）
只需要判断哪些模式串出现，我们可以在跳完每条 (fail) 边后就把这条边拆掉，因为每条 (fail) 边第一次走的时候才有可能对答案产生新的贡献
P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）
题目与 P3796 相同，但对效率要求更高：给定一堆模式串和一个文本串，问模式串们在文本串中各出现了多少次
改变一下策略，不跳 (fail) 链了
先记录下匹配过程中每个结点被访问的次数
然后在 (fail) 树上搞子树和即可（某个节点实际的答案是它子树中所有节点被访问次数的和）
注意跑前缀和需要把树建出来跑，不能直接按照标号降序处理
非严格双倍经验题：[TJOI2013] 单词
ACAM x DFS/BFS
[POI2000] 病毒
给出 (n) 个 01 字符串，称为病毒串。问是否存在一个无限长的串使得其中不包含任何一个病毒串。
将所有病毒串插入自动机，末尾结点染黑，并沿着 fail 树下传（父黑子必黑）
找一个与根结点连通的白色环路即可
从根结点开始 DFS，所有点有三种状态：在栈中，未访问，已结束
碰到黑点直接设为已结束，否则继续下去，遍历其孩子，若未访问则访问，若在栈中则成功
[HNOI2006] 最短母串问题
给定 (n le 12) 个字符串，要求找到一个最短的母串使得这 (n) 个字符串都是它的子串。如果有多个合法解则输出字典序最小的。每个字符串的长度不超过 (50)。
对 (n) 个字符串建立 AC 自动机，对于每个串的末尾结点，打上标记
建自动机的时候把标记下传一下
问题转化为找一条穿过所有标记的最短路径（还要字典序最小）
然后结合状压跑 BFS 即可，记录下每个点的来源，然后倒序输出
BFS 的时候先从小边走，以保证字典序
ACAM x DP
[HNOI2004] L语言
给定字典和没有标点的文章，求能够被识别的最长前缀。
显然不能贪心，设 (f[i]) 表示文本串前 (i) 个字符构成的前缀能否被识别，考虑主动转移，在 AC 自动机上每走到一个新位置，就沿着 fail 链把所有能转移的都转移了。
Wannafly Camp 2020 Day 2K 破忒头的匿名信
给定字典和文章，每个单词有一个代价，文章必须由选择的单词序列顺序相接而成，求写文章的最小代价
设 (f[i]) 表示写出 (s[1..i]) 的最小代价，考虑被动转移，每走一步后，沿着 fail 链往根跳，路途上经过所有的匹配点都用来更新依次答案
能保证复杂度的原因是，不同长度的单词串一定只有根号级别，而相同长度的在同一个状态的更新中至多出现一个
[JSOI2007] 文本生成器
给定 (n) 个单词和正整数 (len)，求有多少个不同的长度为 (len) 的串，至少包含一个给定的单词。
设 (f[i][j]) 表示长度为 (i)，当前处于 (j) 结点状态的方案数，沿着 (trans) 边主动转移即可
[USACO12JAN] Video Game Combo
给定 (N) 个模式串。一个母串的分数定义为能与模式串匹配的次数，可以与同一个模式串多次匹配。问一个长度为 (K) 的母串最多能获得多少分。(Nleq 20,K leq 1000)
设 (f[i][j]) 表示长度为 (i)，当前处于 (j) 结点状态的最大得分，考虑主动转移，用 (f[i][j]) 去更新 (f[i+1][ch[j][k]])
这里需要用到 (val[p]) 表示结点 (p) 到 (root) 的链上有多少个结尾标记，用树上前缀和预处理即可
ACAM x 数据结构
[COCI2015] Divljak
给定 (n) 个模式串 (S_1,...,S_n)，维护一个初始为空的字符串集合 (T)，有 (q) 个操作，每次向集合中添加一个字符串，或给定 (x) 询问集合中有多少个字符串包含 (S_x)。
考虑对 ({S_i}) 建立 ACAM，尝试对 ACAM 上的每个结点维护一个 (ans[p]) 表示有多少个 (S) 中的字符串能匹配到这个状态
那么每次新添加一个串，就扔上去跑，一个点发生匹配，则会对它（在 fail 树上）到根的链产生影响
但需要注意的是，由于这里问的是有多少个字符串包含 (S_x)，而不是总共匹配了多少次
因此我们每添加一个串时，需要修改的不是若干条到根的树链的和，而是它们的并
先考虑树链的和怎么做，直接树剖当然可以，但不妨转化为单点修改，子树查询，这样 DFS 序上建树状数组即可
再考虑树链的并，考虑容斥
若将这些待修改结点按照 DFS 序排序，树链的并等于树链的和减去所有相邻点 LCA 的父亲到根的树链，于是仍然可以按照上面的方法处理
[NOI2011] 阿狸的打字机
对一台打字机，除了可以正常打出小写字母（添加在当前缓存串的末尾），还有两个功能字符：P 表示打印当前缓存中的串，B 表示删去缓存末尾的一个字符。给定一个操作串。你需要回答 (m) 个询问，每个询问指定 ((x,y))，求第 (x) 个打印的字符串在第 (y) 个打印的字符串中出现了多少次。
按照操作串建 Trie，遇到 P 操作就将当前结点打上标记，遇到 B 操作就回溯到父亲节点
询问 ((x,y))，就是求 fail 树上以 (x) 为根的子树内，有多少个 (y) 沿着 Trie 树上的边走到根的路径上的结点
考虑离线，将 Trie DFS 一遍，维护一个桶，(b[i]) 表示当前所在点到根的链上是否有 (i) 这个点
将每个询问挂在 (y) 上，回答询问只需要在进入 (y) 点时，求桶中 (x) 点的子树和即可
于是桶需要按照 DFS 序做下标，并用树状数组维护
杂题
[USACO15FEB] Censoring
给定文章串 (S)，要从 (S) 中删去由 (n) 个单词构成的单词簿中的所有单词。每次找到最早出现的单词并且删除，重复操作到没有单词簿中的单词为止。输出最后的 (S)。
可以理解为每次碰到对应的单词就按若干下退格键
我们应当要记录每个时刻所在的结点来实现退格
不难想到用栈来维护，一个栈记录结点编号，一个栈记录输出串
遇到匹配的情况，就两个栈一起弹出长度次
以上是关于AC 自动机 - 算法与应用小结的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章