最大子段和之可交换

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最大子段和之可交换相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

可交换的最大子段和

题目模型

  • (n) 个整数组成的序列(a_1,a_2,...,a_n),你可以对数组中的一对元素进行交换,并且交换后求 (a_1)(a_n) 的最大子段和,所能得到的结果是所有交换中最大的。当所给的整数均为负数时和为0
  • 例如:({-2,11,-4,13,-5,-2, 4})-44 交换,({-2,11,4,13,-5,-2, -4}),最大子段和为11 + 4 + 13 = 28

问题分析

  • 先说错误的做法,不少同学直接搬运了网上的题解,并完美的ac了这道题,说句实话我是看了半天才明白其做法,对于最关键的地方一句显然,让人实在是无法理解。附上这些搬运工们的题解链接

  • 做法的核心就是:显然sum[r]应该越大越好,就这么一句话就把枚举区间的时间效率由(O(n^2))降到了(O(n))。但这个显然没有找到一个合理的证明,还好找到了一组数据能够证明其错误,下面就附上错误做法和数据。

  • 错误Code

    #include <iostream>
    #include <cstdlib>
    #include <cstdio>
    #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ///formula : sum[r] - sum[l - 1] - min[l,r] + max(max[1,l - 1],max[r + 1,n])
    int n;
    ll sum[50005];
    int s[50005];
    int lmax[50005],rmax[50005];
    int main() {
        while(~scanf("%d",&n)) {
            for(int i = 1;i <= n;i ++) {
                scanf("%d",&s[i]);
                sum[i] = sum[i - 1] + s[i];
            }
            for(int i = 0;i < n;i ++) {
                lmax[i + 1] = max(lmax[i],s[i + 1]);
                rmax[n - i] = max(rmax[n - i + 1],s[n - i]);
            }
            int maxi = n;
            ll sumr_min,ans = 0;
            for(int i = n;i >= 1;i --) {
                if(sum[i] >= sum[maxi]) {
                    maxi = i;
                    sumr_min = sum[i] - s[i];
                }
                sumr_min = max(sumr_min,sum[maxi] - s[i]);
                ans = max(ans,sumr_min - sum[i - 1] + max(lmax[i - 1],rmax[maxi + 1]));
            }
            printf("%lld
    ",ans);
        }
        return 0;
    }
    /*
    input
    10
    1 -100 1 100 100 100 -1000 2 3 4
    output
    311
    */
    
  • 希望盲目copy的同学们引以为戒,可以借鉴,但一定要理解,不然就会闹出大笑话了!

  • 正确做法:,任然是错误做法

  • 这个车翻的有点猝不及防,才义正言辞的批评了一通 (Uparrow) ,这个报应来得太快了,还好,代码是我写的,我只是没脑子(……),同学们头脑在线,这个老姚很欣慰!

  • 交换操作,有以下三种情况:

    1. 被交换的两个数都在最大子段中;
    2. 被交换的两个数都不在最大子段中;
    3. 被交换的两个数只有一个在最大子段中;
  • 显然,情况1,2交换后不影响最大子段和结果,所以我们只需考虑情况3

  • 对情况3,子段外的被交换的元素也有两种情况。

    1. 被交换数在子段的左侧;
    2. 被交换数在子段的右侧;
  • 假设 (a_i) 是最大子段和中需要交换的元素,我们需要从子段左侧去找一个最大数,最大数好找,我们只需预处理出,(O(1))的效率就能找到,关键是如何找到子段的左边界。

    • 对情况1,如果我们能求出包含 (a_{i-1}) 最大后缀和,然后把 (a_i) 追加到后面即可,我们有多种方法(O(n)) 的预处理出结果和包含 (a_{i-1}) 的后缀的左边界,这样就确定了区间的左边界,然后再左边界左边找到最大的元素和啊(a_i) 进行交换即可。

    • 对情况2,同上面类似,如果我们能求出包含 (a_{i+1}) 最大前缀和,右边界,这样就确定了区间的右边界,然后再右边界右边找到最大的元素和啊(a_i) 进行交换即可。

    • 然后从这两种情况中去较大者。

    • 如下图,(dp_1[i-1])(a_{i-1}) 结尾的最大子段和,(L)是其左边界,(dp_2[i+1])表示以(a_{i+1})开始的最大子段和,(R) 是其右边界。所以我们只需从 区间([1,L)),或区间((R,n])找到最大的和 (a_i) 交换即可。

      技术图片

  • 错误 Code

    #include <bits/stdc++.h>
    typedef long long LL;
    const int maxn = 5e4+5;
    const LL Inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    LL a[maxn],dp1[maxn],dp2[maxn];//dp1[i]以a[i]结尾的最大子段和,dp2[i]表示以a[i]开始的最大子段和
    LL L[maxn],R[maxn],Lmax[maxn],Rmax[maxn];//L[i]以a[i]结尾的最大子段和的左边界,R[i]类似。
    void Solve(){
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<=n;++i)//Lmax[i]表示1~i的最大值,Rmax[i]表示i~n的最大值。
            Lmax[i]=Rmax[i]=-Inf;    
        for(int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%lld",&a[i]);        
            Lmax[i]=std::max(a[i],Lmax[i-1]);
            if(dp1[i-1]+a[i]>0){//存在包含a[i]的结果为正的子段和            
                dp1[i]=dp1[i-1]+a[i];
                if(dp1[i-1]==0)L[i]=i;//只选a[i]自己
                else L[i]=L[i-1];//a[i]并到以a[i-1]结尾的最大子段中
            }
            else L[i]=-1;//dp1[i-1]+a[i]<=0就什么都不选,为空
        }  
        Rmax[n+1]=-Inf; //如果a[n]为负,如果Rmax[n+1]=0,那求出的Rmax[n]=0,是错误的。 
        for(int i=n;i>0;--i){//倒序求以a[i]开始的最大子段和
            Rmax[i]=std::max(a[i],Rmax[i+1]);
            if(dp2[i+1]+a[i]>0){
                dp2[i]=dp2[i+1]+a[i];
                if(dp2[i+1]==0)R[i]=i;
                else R[i]=R[i+1];
            }
            else R[i]=-1;
        }   
        LL ans=0;  
        L[0]=R[n+1]=-1;//0不存在左边界,n+1不存在右边界
        for(int i=1;i<=n;++i){
            LL x=0;
            int l=i,r=i;//l,r记录区间的左右边界        
            if(L[i-1]!=-1){x+=dp1[i-1];l=L[i-1];}//如果存在以a[i-1]结尾的大于0最大子段和
            if(R[i+1]!=-1){x+=dp2[i+1];r=R[i+1];}//如果存在以a[i+1]开始的大于0最大子段和           
            ans=std::max(ans,x+std::max(Lmax[l-1],Rmax[r+1]));
        }
        printf("%lld
    ",ans);
    }
    int main(){
        Solve();
        return 0;
    }
    /*
    4
    -2 -4 1 -1
    上面代码过不了下面的样例
    错误的愿因是需要交换的a[i]向左扩展并不一定是包含a[i-1]的最大子段和
    6
    100 -1 1 -10 1 1 
    */
    
    
  • 正确做法

  • 数学比较差,先盗个链接,容我仔细琢磨透了仔细给大家讲讲:https://blog.csdn.net/zlh_hhhh/article/details/78176629

以上是关于最大子段和之可交换的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

最大子段和之M子段和

最大子段和之带长度限制

顺序表应用8:最大子段和之动态规划法

顺序表应用8:最大子段和之动态规划法

最大子段和(交换)

51nod1254 最大子段和 V2