高等数学 —— 连续

Posted 2020-12-12 rcklos

For the ideal that I hold near to my heart, I‘d not regret a thousand times to die.
亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。

高等数学（1） —— 连续

题目得刷过去才行。

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目录

1. 函数的连续性与间断点1.1 函数的连续性1.2 函数的间断点2. 连续函数的运算于初等函数的连续性2.1 连续函数的和差积商的连续性2.2 反函数与复合函数的连续性2.3 基本初等函数的连续性3. 闭区间上连续函数的性质3.1 有界性与最大值最小值定理3.2 零点定理与介值定理第一章——完

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1. 函数的连续性与间断点

1.1 函数的连续性

连续： 只要函数的在某一点处有定义，且其极限值与函数值相等，即在该点处连续。

左连续： 函数在某一点有定义，左极限值与函数值相等。

右连续： 函数在某一点有定义，右极限值与函数值相等。

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1.2 函数的间断点

间断点： 也称不连续点，以下三中一即为间断点，

• 在某一点处没有定义

• 在某一点处有定义，但极限不存在。

• 在某一点处有定义，但极限值不等于函数值。

第一类间断点： 左右极限都存在的间断点。

• 左右极限相等就叫可去间断点。
• 左右极限不相等即跳跃间断点。

第二类间断点： 不满足第一类间断点定义的间断点。

• 震荡间断点：

• 无穷间断点：

计算相关就是第一类间断点用的多，第二类常用于判断类型。

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2. 连续函数的运算于初等函数的连续性

2.1 连续函数的和差积商的连续性

只要商时，分母不为零即都连续。

2.2 反函数与复合函数的连续性

反函数连续： 只要原函数在指定区间单调且连续，则反函数也会在对应区间单调且连续。

复合函数： 逐层判断连续。

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2.3 基本初等函数的连续性

基本初等函数的连续性： 在其定义域内都是连续的。

定义区间：一定包含在定义域内的区间。
初等函数的连续性： 在其定义区间内连续。

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3. 闭区间上连续函数的性质

3.1 有界性与最大值最小值定理

有界性与最大值最小值定理： 在闭区间上的连续函数在该区间上必定有界且存在最大值和最小值。

3.2 零点定理与介值定理

零点定理： 连续函数f(x)在区间[a,b]，如果，

则在区间[a,b]必定存在零点。

介值定理： 连续函数在闭区间内有最大值M和最小值m，则在这个闭区间内存在一个数a，使得f(a)的介于M和m之间。

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第一章——完

第一章三大殿：映射殿，极限殿，连续殿结束施工。

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