区间DP之凸多边形的三角剖分

Posted 2020-12-12 soda-ma

题目

给定一具有N个顶点（从1到N编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？

输入

第一行 顶点数N（N<50）。 第二行 N个顶点（从1到N）的权值，权值为小于32768的整数。

输出

第一行为各三角形顶点的权的乘积之和最小值。

样例

样例输入

5
121 122 123 245 231

样例输出

12214884

思路

我们可以假设某个三角形在最优解的情况下，那么在遍历长度的情况下，枚举左端点，从而推出右端点，进而枚举断电，将整个凸多边形分成三部分，即f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[k]a[i]a[j])，从而求出最小价值（需要注意的是当发f[i][j]==0时，应当直接取后者值）

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50+5;
int n;
ll a[maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
	//freopen("1.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld
",&a[i]);
	for(int i=1;i+2<=n;++i)f[i][i+2]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
	for(int d=3;d<=n;++d){
		for(int i=1;i+d-1<=n;++i){
			int j=i+d-1;
			for(int k=i+1;k<j;++k){
				if(f[i][j])f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[k]*a[i]*a[j]);
				else f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]+a[k]*a[i]*a[j];
			}
		}
	}
	printf("%lld
",f[1][n]);
	return 0;
}