OSU！JZOJ3468[概率与期望][DP思想]

Posted 2020-12-11 vocanda

题目描述

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

输入格式

第一行有一个正整数n,表示操作个数。

接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

输出格式

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

样例输入

3
0.5
0.5
0.5

样例输出

6.0

数据范围与提示

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0

N<=100000

分析

首先看一下问题，也就是在一串字符中有0 1子串，每多一个连续的1，假如说之前的长度为 $ X $，那么如果长度加一的话，那么权值应该变成 $ (X+1)^3 (,所以就可以直接看出来，长度加一的话，那么我们把这个乘方展开，就是) X^3+3X2+3X+1 $,所以期望就加了 $ 3X^2+3X+1 $ ,那么我们就可以用一个状态转移方程来记录权值。

下面再来分析一下平方和一次方的记录方式
我们用两个数组来代替：
$ f1[i] $ 数组代替前i结尾连续为1的长度的期望
$ f2[i] (代替前i结尾连续为1的长度平方的期望，那么这就把上边所说的期望增加量可以一一表示出来了; 所以可以先列出这两个的状态转移： 先看到) f1[i] (,因为每一位的状态都有两种情况，一个是) 0 $ ，一个是$ 1 $ ，$ 0 (的时候期望为) 0 imes(1-p_i) (() p_i (就是每个情况的概率，上边的输入里边有）,当情况为) 1 $ 的时候，期望就是((f[i-1]+1) imes p_i),那么(f1)的状态转移方程就出来了，即$$ f[i] = (f[i-1]+1) imes p_i + 0 imes (1-p_i)$$,后边的$ 0 (也就可以不用考虑了。 )f2[i](也就是这样考虑，因为假如长度为) X (,加一以后有一个变化量，也就是)(x+1)^2=x2+2x+1$，增加了也就是(2x+1),转移一下也就可以把$ X (变成)f1[i]$。
状态转移方程如下：

[f2[i+1]=0×(1?p_i+1)+(f2[i]+2f1[i]+1)×p_i+1=(f2[i]+2f1[i]+1)×p_i+1 ]

综上所述，三个状态转移方程就出来了：

[E[i]=E[i?1]+(3f2[i]+3f1[i]+1)×p_i ]

[f2[i]=(f2[i?1]+2f1[i?1]+1)×p_i ]

[f1[i]=(f1[i?1]+1)×pi ]

代码很简单自己写就好了。