[bzoj1690] 奶牛的旅行 （最大比率环）

Posted 2020-12-11 linzhuohang

题目

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。 奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

题解

分数规划+spfa

首先，可以确定的是答案一定是简单环。

粗略的证明：如果存在一个复杂环，把它拆成两个环，这两个环不可能点权和/边权和都小于复杂环的点权和/边权和，而复杂环中点权只计算一次，因此答案更小。

所以只要找到一个比值最大的简单环即可。这显然是一个01分数规划问题。

于是二分答案，把点权加到边权上（好像这个套路很常见），使用Spfa判断是否存在正环即可。

注意最好用dfs版的spfa，处理负环速度更快

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 10000
using namespace std;
int head[N],cnt,to[N],nxt[N],n,m;
double cost[N],dis[N],cost2[N];
bool vis[N];
void connect(int a,int b,double c)
{
    to[++cnt]=b,cost[cnt]=c,nxt[cnt]=head[a],head[a]=cnt;
}
int val[N];
bool dfs(int id)
{
	vis[id]=true;
	for(int i=head[id];i;i=nxt[i])
	{
		double d=dis[id]+cost2[i];
		if(d<=dis[to[i]]) continue;
		if(vis[to[i]]) return true;
		dis[to[i]]=d;
		if(dfs(to[i])) return true;
	}
	vis[id]=false;
	return false;
}
bool check(double mid)
{
	for(int i=1;i<=cnt;i++) cost2[i]=(double)val[to[i]]-mid*cost[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=-10000000,vis[i]=false;
	dis[1]=0;
	return dfs(1);
}
int main()
{
	int tot=0;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]),tot+=val[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		connect(a,b,c);
	}
	double l=0,r=100;
	while(r-l>0.001)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.2f", l);
}