矩阵树定理

Posted 2020-12-10 kamimxr

矩阵树就是指计算一个图生成树的个数（无论有没有环，边带不带权，有向或无向，指不指定根节点，外向树或内向树，都可以计算）

 

在此之前，我们引入一个问题：

问题1：给定一个n个节点的完全图，求其生成树个数。

这个问题，简单的prufer序列就可以解决，显然，答案是$n^{n-2}$。

 

一次升级版：

问题2:给定一个n个节点的无边权无向图，求其生成树个数。

怎么解决？还是prufer序列？似乎不太可行。

这时候，计数利器-------线性代数出现了。

 

什么是线性代数？没学过？不着急，矩阵乘法总学过吧。那就没问题。

我们对于一个矩阵，定义一个值，叫做行列式的值。

这个值的求法如下：

我们有着$n!$个1~n的排列p,

对于一个n阶矩阵：$sum_{1}^{n!} (-1)^{f(p)}prod_{j=1}^{n}a_{j,p_j}$这个便是这个n阶矩阵的行列式的值

其中：$f(p)$表示当排列是p的情况下逆序对的个数。

 

我们要求这个值怎么办？暴力显然不可取。

当暴力不行的时候，我们挖掘值的性质。

 

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性质1

 

交换矩阵的任意两行，行列式变号。

 

 

证明：一个排列交换其中任意两个元素，逆序对个数变化量为奇数。（不会的去学学逆序对）。

性质2

 

矩阵的一行都乘以 k ,行列式也乘以 k

 

 

证明：根据行列式值得定义，每一行仅仅会取一个元素，所以每一个累加中答案乘k，总答案也就乘k。

性质3

 

如果矩阵内有两行相等，那么行列式为 0

 

证明：由性质1知：交换两行后，行列式的值$ imes -1$，那么在实数范围内仅有$0=-0$，得证。

性质4

如果一行是另一行的 k 倍，那么行列式值为0。

 

证明：由性质2和3易证，如果一行乘k，那么会存在两行相等。即：答案乘k后等于0。在实数范围内，仅有0可能是答案，得证。

 

性质5

一行加上另一行的 k 倍，行列式不变。

 

证明：我们可以把现矩阵的行列式拆成两个行列式相加，一个是原先矩阵的行列式，另一个是增长的行列式。根据性质 4 ,可以得到增长的行列式为 0 。

 

 看到这里，相比很多人已经能明白了吧，如果我们可以得到一个上三角矩阵，那么正对角线的乘积便是其行列式的值。

那么如何得到这个上三角矩阵呢？显然是通过高斯消元在$n^3$的时间内得到上三角矩阵。

但要注意，和普通的高斯消元不同的是：我们交换某两行，行列式的值$ imes -1$。

其余的便没什么大问题了。

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 但到目前为止对于求生成树个数应该还没什么头绪那吧，那么，我们引来一尊大人物：Kirchhoff矩阵

 

$\text{Kirchhoff 矩阵是指的对于一个图构造出来的一个矩阵。具体定义为度数矩阵减去邻接矩阵。}$

$\text{至于邻接矩阵便是我们存图时经常用的东西。}$

 

 

Matrix Tree定理
一个图中的生成树个数等于其Kirchhoff 矩阵的任意一个 代数余子式的行列式（即：随意去掉矩阵中的第k行和第k列，注意一定要是同一行和列，然后剩下的矩阵跑高斯消元就好了）。
由于其证明繁杂，这里就不说了，感兴趣的可以了解其他大神的博客。

 

 

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到目前为止，我们可以完成圆满的完成问题2了。可是在NOI的范围内，这还远远不够，让我们接着看：

问题3：给定一个n个节点的带边权无向图，定义其一个生成树T的权值为T中所有边权的乘积。求其所有生成树的权值之和。
我们定义重边：对于两个点(x,y)之间若有大于1条边直接相连，那么这几条边就都可以叫做重边。

容易理解 : 带重边的情况,上面的经典矩阵树定理也是能够处理的。

根据乘法原理,对于某种生成树的形态,其贡献为每条边重复的次数的乘积。

如果把重复边次数理解成权值的话,那么矩阵树定理求的就是 : 所有生成树边权乘积的总和。

因此我们将度数矩阵变成与相邻边的权值和，邻接矩阵从0,1变成边的权值，然后跑矩阵树即可。

 

问题3.5：给定一个n个节点的无边权无向图，以k节点为根，求以k节点为根的生成树个数

这个问题其实并不存在，因为无向图的生成树必定是无根树。无论是否指定根节点对答案都无影响。但我将其放在这里的原因是因为与下面的有根树有所对应对应：我们指定了根节点。

我们发现，若以k为根，那么在求基尔霍夫矩阵的代数余子式的行列式值的时候，限定删去第k行和第k列，这样就可以

 

 

问题4：给定一个n个节点的带边权有向图，以1为根，求其外向树的个数。
外向树，顾名思义，就是所有边都从1开始走，一直走到叶子节点。
我们把度数矩阵改为：到该点的边权总和。接着求基尔霍夫矩阵的代数余子式的行列式值的时候，限定删去第1行和第1列然后跑矩阵树即可。

 

 

问题5：给定一个n个节点的带边权有向图，以1为根，求其内向树的个数。
外向树，顾名思义，就是所有边都从叶子节点开始走，一直走到1号点。
我们把度数矩阵改为：从该点出发的边权总和。接着求基尔霍夫矩阵的代数余子式的行列式值的时候，限定删去第1行和第1列然后跑矩阵树即可。

 

接下来便是愉悦的代码时间：

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int p=1e9+7;
int mmap[321][321];
long long kir[321][321];
int n,m,t,line,id[321];
long long KSM(long long a,long long b){
    long long res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b/=2;
    }
    return res;
}
long long ans=1,cnt=0;
void GUASS(){
    inc(i,2,n){
        int maxn=i;
        inc(j,i +1,n) if(abs(kir[j][i])>abs(kir[maxn][i])) maxn=j;
        if(!kir[maxn][i]){
            ans=0;
            return;
        }
        inc(j,i,n) swap(kir[maxn][j],kir[i][j]);
        if(maxn!=i) ++cnt;
        inc(j,2,n){
            if(j==i) continue;
            long long tmp=kir[j][i]*KSM(kir[i][i],p-2)%p;
            inc(k,i,n) kir[j][k]=(kir[j][k]-kir[i][k]*tmp%p+p)%p;
        }
    }
}
int main(){
    //freopen("1.in","r",stdin);
    //freopen("")
    cin>>n>>m>>t;
    inc(i,1,m){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(t==1){
            kir[x][y]=(kir[x][y]-z+p)%p;
            kir[y][y]=(kir[y][y]+z)%p;
        }
        else{
            kir[x][y]=(kir[x][y]-z+p)%p;
            kir[y][y]=(kir[y][y]+z)%p;            
            kir[y][x]=(kir[y][x]-z+p)%p;
            kir[x][x]=(kir[x][x]+z)%p;
        }
    }
    GUASS();
    inc(i,2,n) ans=ans*kir[i][i]%p;
    if(cnt&1) ans=p-ans;
    printf("%lld
",ans%p);
}