刷题总结——过河（NOIP2015）

Posted 2020-09-30

题目：

题目背景

NOIP2005提高组试题2。

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为 0 的点表示桥的起点，坐标为 L 的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是 S 到 T 之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为 L 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度 L，青蛙跳跃的距离范围 S，T ，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入格式

输入文件的第一行有一个正整数 L（1 <= L <= 109），表示独木桥的长度。

第二行有三个正整数 S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中 1 <=S <= T <= 10，1 <= M <= 100。

第三行有 M 个不同的正整数分别表示这 M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。

所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出文件只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例数据 1

输入　 [复制]

 

 

10 
2 3 5 
2 3 5 6 7

输出

2

备注

【数据规模】
对于 30% 的数据，L <= 10000；
对于 100% 的数据，L <= 109。

题解：

引用ssoi官网题解：

状态：F[i] 跳到距离i处碰到的最少的石子数。
状态转移方程：F[i]=min{ F[i-k] } + F[i] (S<=k<=T i-k>=0)
边界条件：F[i]=1 i处有石子
目标结果：min{ F[k] } (L+1<=k<=L+T-1)
状态压缩：由于 L 最大为10^9，直接线性递推会超时。发现石子数很少，这意味着路径上有许多很长的空白段。我们可以把长度大于 ST 的空白段都缩小到 ST，这样最长只有 10090 了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=1e9;
int l,s,t,m;
int pos[105],rock[500000];
int dp[500000];
int main()
{
  //freopen("a.in","r",stdin);
  scanf("%d",&l);
  scanf("%d%d%d",&s,&t,&m); 
  for(int i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d",&pos[i]);
  sort(pos+1,pos+m+1);
  if(s==t)
  {
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
      if(pos[i]%s==0)
        ans++;
    cout<<ans<<endl;
  }
  else  
  {
    int maxx=s*t;
    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {
      if(pos[i]-pos[i-1]>maxx)    
      {
        int temp=pos[i]-pos[i-1]-maxx;
        for(int j=i;j<=m;j++)
          pos[j]-=temp;
      }
    }
    l=pos[m]+101;
    for(int i=1;i<=l-1+t;i++)
      dp[i]=inf;
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
      rock[pos[i]]=1;
    for(int i=1;i<=l-1+t;i++)
    {
      for(int j=s;j<=t;j++)
      {
        if(i-j>=0)
          dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+rock[i]);
       }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=l;i<=l-1+t;i++)
      ans=min(ans,dp[i]);
    cout<<ans<<endl;
  }
  return 0;
  
}